BIBLIOGRAPHIE. 
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Longchamps donne les caractères de convergence dépendant 
des expressions 
lim 'U±± , lim , lim nu„ , lim n? u „ , (1) 
la règle de Raabe et celle de Gauss. De plus, il indique comment 
on peut aussi se passer de la dernière au moyen des caractères 
précédents. Il termine par les règles relatives aux séries à 
termes positifs et négatifs. Les Exercices contiennent d’autres 
règles et maints exemples intéressants, mais dans le texte 
même, ils manquent un peu. 
Quand les deux premières limites ( 1 ) existent, on sait qu’elles 
sont égales. M. de Longchamps donne, de ce théorème, la jolie 
démonstration que voici: Si ces limites étaient inégales, on pour- 
rait choisir une quantité x intermédiaire entre elles ; alors la 
série dont le terme général est u n x" serait convergente d’après 
l’un de ces deux critériums, divergente d’après l’autre, ce qui est 
absurde. 
Observons, en passant, que les démonstrations des divers 
caractères de convergence indiqués plus haut s’appliquent même 
à des théorèmes plus généraux. Ainsi, lorsque le rapport 
(u„ + i : u n ) n’a pas de limite, mais est toujours inférieur à une 
quantité fixe plus petite que l’unité, la série est convergente. La 
remarque attribuée à Riemann, au n° 172, est tout entière de 
Dirichlet ; Riemann l’a complétée en prouvant le théorème sui- 
vant : Dans une série à termes positifs et négatifs qui ne reste 
pas convergente quand on rend tous les termes positifs, on peut 
arranger les termes de manière qu’elle reste convergente et ait 
telle somme que l’on veut. 
xvur. Fonctions continues, xix. Étude du nombre e. xx. Loga- 
rithmes. xxi. Dérivées. Il y a maintes améliorations de détails 
dans ces leçons qui nous semblent irréprochables au point de 
vue de la rigueur. 
xxii. Dérivées. Théorèmes généraux. Ici, nous regrettons de 
n’être pas complètement d’accord avec l’auteur. La démons- 
tration (d’Ossian Bonnet) du théorème de Rplle, que l’auteur 
emprunte au Calcul différentiel de Serret, est incomplète, telle 
qu’elle est présentée dans cet ouvrage. Elle devrait être précédée 
du lemme de Weierstrass : Une fonction, continue dans un 
intervalle, y atteint ses valeurs limites, lemme qui ne semble pas 
élémentaire. A notre avis, la démonstration du théorème de 
