BIBLIOGRAPHIE. 
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Démonstration et applications ordinaires aux fonctions usuelles, 
même au binôme dans le cas où la variable est égale à plus ou 
moins l’unité, et à arctang x. Nous avons une petite critique à 
faire au n° 467. L’auteur admet implicitement, sans démonstra- 
tion, que les dérivées de la célèbre fonction de Cauchy consi- 
dérée dans ce n° sont continues pour x=o. 11 faudrait le 
démontrer directement. 5 . Ftègle de l’Hospital (1 1 exercices). La 
démonstration relative aux expressions (00 : 00), manquée dans 
tant de manuels, est faite d’après Tannery. 6. Intégrales définies 
(22 exercices). Existence et propriétés fondamentales des inté- 
grales; quelques intégrations indéfinies; recherche des aires; 
recherche de quelques volumes ; séries pour les arctangentes et 
les logarithmes. Dans les exercices, la recherche de la longueur 
des arcs de courbes est traitée trop brièvement. 7. Fonctions de 
plusieurs variables indépendantes (8 exercices). Interversion de 
l’ordre des dérivations (il y a des conditions surabondantes, 
croyons-nous, dans les hypothèses admises comme point de 
départ), propriétés des fonctions homogènes ; déterminants fonc- 
tionnels. 8. Formes quadratiques ( 1 3 exercices). Propriétés fonda- 
mentales, y compris celle du hessien; dans les exercices, on 
trouve des propriétés inédites dues à Darboux. 
IV. 1 . Théorème fondamental de l’analyse algébrique. Compo- 
sition clés équations (19 exercices). Dans ce chapitre, qui n’occupe 
pas moins de quarante-six pages, l’auteur a traité avec grand 
soin les questions qui se rattachent au principe fondamental : 
Toute équation algébrique a une racine. La démonstration qu’il 
en donne est celle d'Argand complétée par Darboux ; il en déduit 
la composition des équations ; les conditions pour que toutes les 
racines d’une équation à une ou plusieurs variables soient com- 
prises parmi celles d’une autre ; les propriétés des équations à 
coefficients réels ; le principe de substitution qui est aussi établi 
directement et est suivi de belles applications, entre autres de la 
discussion de l’équation en s ; la composition des équations et 
enfin la théorie des racines infinies et de la continuité des racines 
considérées comme fonctions des coefficients. Au point de vue 
de la rigueur, l’exposé de M. Niewenglowski égale ou surpasse 
celui des meilleurs auteurs ; et cependant, à ce point de vue 
même, il n’est pas encore parfait. Absolument parlant, en effet, 
il ne suffit pas d’établir que toute équation de degré m a une 
racine, pour pouvoir en déduire qu’elle en a m ; il faut, de plus, 
montrer que cette racine est fonction continue des coefficients. 
Sans ce théorème complémentaire, on ne peut rien déduire de 
