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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
ou six étapes de sa pensée mathématique. Sa méthode favorite 
de travail, méthode patiente et sûre, était, en effet, celle-ci : 
un objet d’étude s’emparant de son attention, il se livrait tout 
entier au défrichement de ce champ nouveau, le pénétrait de 
tous côtés, le remuait sans cesse et ne l’abandonnait point que 
l’œuvre ne fut achevée et parfaite. 
1. La Géométrie dos complexes et des congruences de droites 
(1869-1873). — Pour traiter les problèmes de Géométrie énumé- 
rative relatifs aux droites, Halphen se plaça sur le terrain de la 
Géométrie de Plücker, alors toute neuve. De même que la 
Géométrie analytique ancienne considère le point comme 
l’élément de l’espace et envisage les lignes, soit planes, soit 
gauches, et les surfaces comme des lieux de points, de même la 
Géométrie pluckérienne considère la droite comme l’élément de 
l’espace, puis examine successivement les complexes (ou entre- 
lacements de droites), les congruences (ou faisceaux de droites), 
— ces dénominations sont de Plücker — et les surfaces réglées. 
Ges trois termes désignent les lieux des droites assujetties à une, 
à deux ou à trois conditions et, par conséquent, exprimées par 
des équations n’offrant que trois paramètres libres, que deux 
ou qu’un seul. Les intersections mutuelles de deux complexes 
constituent une congruence ; de trois complexes, une surface 
réglée. Quatre complexes déterminent dans l'espace, en s’entre- 
coupant, un ensemble d'un nombre fini de droites : les com- 
plexes de droites réalisent donc une Géométrie à quatre 
dimensions (1). 
Dès le premier abord de ces travaux (1869), Halphen montra 
combien il avait la main heureuse dans la recherche de formules 
(1) Plücker (1801-1868) a fait connaître par une Lecture à la Société royale 
à Londres, en décembre 1864, les bases de sa Géométrie. Cette Lecture, 
intitulée Sur une nouvelle Géométrie de l'espace, fut traduite en français 
dans le Journal de Liouville en 1866. Le géomètre de Bonn avait, d’ailleurs, 
formulé déjà vers 1830 les principes de sa doctrine. En 1868 et 1869 parurent 
les deux volumes de sa .Y eue Geometrie des Raumes, œuvre posthume et 
inachevée, que R. Radau analysa excellemment dans le Bulletin des Sc. 
mathém. (1870) de Darboux. — En Géométrie pluckérienne, outre la Théorie 
des complexes et congruences de droites, il y a lieu d’étudier la Théorie des 
complexes et congruences de courbes Un complexe de courbes est l'en- 
semble des courbes, en nombre triplement infini, dépendantes de trois 
paramètres arbitraires ; une congruence de courbes est l’ensemble des 
courbes, en nombre doublement infini, dépendantes de deux paramètres 
arbitraires. 
