VARIETES 
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lions algébriques n’avait pas encore déblayé ; niais même vingt 
ans plus tard, celle Théorie était encore science fort nouvelle. 
« 11 fallait l’attendre, disait Halphen, et adapter à ses découvertes 
» les formes de la Géométrie. » Le savant vieillard n’avait ni la 
patience ni le temps d’attendre. 
Pour sa part, c’est à cette adaptation de la Géométrie aux 
découvertes de la Théorie des fonctions qu’Halphen se consacra 
dès 1873, en faisant porter ses travaux sur l’étude des « points 
singuliers ». 
3. Théorie générale des Courbes algébriques (1874-1877). — 
Dans cette étude des points singuliers, Halphen rendit de 
grands services à la ibis à l’Analyse et à la Géométrie (1). En 
Analyse, cette étude se rattache à la Théorie des fonctions algé- 
briques, où elle applique les principes de Puiseux, et à la Théorie 
des transcendantes abéliennes ; en Géométrie, elle donnera, 
entre les mains d’Halphen, des théorèmes d’une simplicité et 
d’une beauté parfaites, — par exemple, celui-ci, qui ouvre la 
série : Une courbe plane quelconque peut être considérée comme 
la perspective d’une courbe gauche admettant un point singulier 
unique et dont les branches, en ce point, ont toutes des 
tangentes séparées. — Dès 1874, Halphen présenta à l’Insti- 
tut un grand Mémoire Sur les points singuliers des courbes 
gauches , que l’Institut inséra dans le Recueil des Mémoires des 
Savants étrangers (t. XXVI) : il ne consacra pas moins de quinze 
autres Mémoires à ces mêmes questions. Faut-il rappeler que la 
nature intime d’une fonction se caractérise par ce qu’on appelle 
les singularités de cette fonction, et que, par conséquent, les 
propriétés des courbes et des fonctions se rattachent essentielle- 
ment à la théorie des points singuliers? Maître de cette théorie 
des points singuliers pour les courbes du plan et ayant résolu, 
entre autres problèmes, le problème de la détermination sur une 
courbe algébrique du nombre des points qui satisfont à une 
(I) Poincaré énonce en ces termes le problème souverainement ardu 
qu’Halphen parvint à résoudre : « Étant donnée une courbe algébrique présen- 
» tant des singularités quelconques, la transformer en une courbe n’ayant que 
» des points multiples à tangentes séparées. C’était là, en même temps, résoudre 
» un problème indispensable pour la Théorie des fonctions abéliennes et com- 
» pléter l’étude des points singuliers, qui se trouvaient ainsi résolus en singu- 
» larités ordinaires. » Parmi l’infinité de solutions que comporte ce problème, 
les solutions découvertes par Halphen se distinguèrent « par leur élégance, 
» leur simplicité et leur caractère géométrique ». 
