VARIÉTÉS 
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Riemann, a reçu d’Halphen son énonce précis et sa démon- 
stration. 
Halphen a introduit dans la Science la notion des invariants 
différentiels projectifs : il en a lait la théorie très complète, qu’il 
aassise sur des fondements définitifs. Cette théorie s’est montrée, 
entre ses mains, d’une immédiate et imprévue fécondité pour 
l’étude des courbes soit planes, soit gauches. On sait que la 
Géométrie différentielle ou infinitésimale étudie les propriétés 
des figures géométriques dans le tout prochain voisinage d’un 
de leurs éléments. Ainsi, elle envisage la tangente à une combe 
comme la droite qui joint un point de cette courbe à un point 
infiniment voisin ; le cercle oscillateur est le cercle qui passe par 
trois points de la courbe infiniment voisins ; la demi-quadrique 
osculalriee à une surface réglée est déterminée par trois géné- 
ratrices infiniment voisines entre elles. On comprend que la 
recherche des points d’une courbe algébrique qui satisfont à une 
condition exprimée par une équation différentielle donnée, se 
présente en Géométrie dans divers cas; par exemple, dans la 
recherche des points d’intlexion. Halphen, étudiant le groupe 
des substitutions linéaires, c’est-à-dire des changements projec- 
tifs des coordonnées, rencontra certaines fonctions des dérivées 
de ces coordonnées que ces substitutions laissaient inaltérées : il 
les appela du nom d 'invariants différentiels. L’étude de ce nou- 
veau genre d’invariance fit l’objet d’une Thèse qu’il présenta en 
4878 à la Faculté des Sciences et qui lui obtint le grade de 
Docteur (Œuvres, t. Il, pp. 498 253). 
La notion d’invariance avait renouvelé l’Algèbre et la Géomé- 
trie analytique : elle renouvela bientôt le Calcul différentiel et 
le Calcul intégral. 
L’idée d’étendre le concept des invariants aux équations di I- 
férentielles avait été entrevue par d’autres qu’Halphen : on doit 
ici nommer Laguerre et Brioschi ; mais, observe Brioschi lui- 
même, Halphen montra le premier la fécondité, dans une étude 
systématique des équations différentielles, de celle idée heu- 
reuse. Son œuvre, à cet égard, comporte une quinzaine de 
Mémoires, où il s’est montré, au témoignage de Brioschi lui- 
même, un initiateur et où il a été un créateur de méthodes nou- 
velles. A’ous ne parlerons ici que d’un seul de ces travaux, le 
Mémoire sur la réduction des équations différentielles aux formes 
intégrables, qui remporta en 488Ü le Grand Prix des Sciences 
mathématiques. 17 Académie des Sciences venait de mettre au 
concours, pour le Grand Prix, le problème de l’intégration des 
