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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
Au même numéro, l’auteur tend à établir que pour n < m y 
p = nm — 4~ (n — J) (n — 2) des nm intersections de et Y n 
« déterminent » les b = 4" (w — J) (n — 2) intersections res- 
tantes (théorème de Jacobi-Plücker ; voir plus loin). La démon- 
stration indiquée est insuffisante, le théorème devenant illusoire 
dans nombre de cas intéressants. Le cas particulier m =n est 
traité d’une manière indépendante au n° 18. Pour essayer de 
démontrer que toutes les courbes x-i d’ordre n qui passent par 
p = y n ( n + 3) — 1 intersections de deux courbes du même 
ordre O^etML,, passent par les b intersections restantes (théo- 
rème de Plücker, déjà entrevu par Euler et Cramer), l'auteur 
pose implicitement l’identité Xn= + kVn, où k désigne une 
constante indéterminée. Mais la fonction X„ ne se ramenant pas 
toujours à la forme du second membre, on peut trouver des 
systèmes (x», V») pour lesquels la courbe Xn ne passe que 
par une partie des b points ou même par aucun de ceux-ci... 
Ainsi donc, le théorème de Plücker n’est pas rigoureusement 
établi et les diverses propositions que l’auteur en déduit aux 
n os 19, 21, 22 et 23 prêtent à discussion. En fait, cependant, le 
théorème particulier du n° 21 et le théorème de Gergonne, 
donné au n° 22, ne comportent jamais d’exception. Quant aux 
théorèmes de Jacobi-Plücker (n° 19 ; voir ci-dessus) et de Cayley 
(n° 23), il y a lieu de les compléter. Le dernier, par exemple, 
pourrait s’énoncer comme suit : Si, parmi les nm intersections 
de deux courbes U m et Y», 
p = nm — ij- (m -j- n — r — 1) (m -f- n — r — 2) = nm — b 
se trouvent sur une courbe \\> d’un ordre r tel que r > m, 
r > n et m 4- n — - 2 > r, les b intersections restantes appartien- 
dront certainement à \Y r , quand Les p premiers points consti- 
tuent autant d’éléments indépendants de cette courbe — et peut- 
être à W r , quand la dernière condition n’est pas remplie. 
Géométriquement on vérifie souvent l’indépendance des points, 
en constatant que les b intersections résiduelles de Cm et Y n 
n’appartiennent à aucune courbe d’ordre m + n — r — 3. Si 
une telle courbe existe, les points ne sont pas indépendants et 
le théorème de Cayley peut devenir illusoire. C’est un fait qui a 
déjà été mis en évidence par Bacharach en 1881. 
Au n° 20, le résultat signalé est rigoureusement exact, mais le 
raisonnement est illégitime. Subsistent aussi en toute rigueur, 
abstraction faite des modes de démonstration employés, l’exem- 
