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Courbature , ( Maréch. ) agitation du flanc du cheval. 
£n quoi elle confifle. Diverfes caufes de ce mal. Remede 
le plus sûr. La courbature eft un des trois cas qui annullent 
la vente d’un cheval. IV. 377. b . Voyez Suppl III. 420. b. 
COURBE , fubfl. ( Géom. ) Définitions qu’on donne com- 
munément des lignes courbes. Elles font peu précifes. IV. 
377. b. Autres définitions de la ligne droite & de la courbe. 
Peut-être feroit-on mieux de ne les point définir. Figures 
appellées curvilignes ; figures re&ilignes. La théorie générale 
des courbes appartient à la haute géométrie. Ce qu’011 en- 
tend par géométrie tranfcendante. On ne parle d’abord ici 
que des courbes tracées fur un plan, & qu’on appelle courbes 
à fimples courbures. Comment on détermine la nature d’une 
courbe. Ce qu’on entend par équation de la courbe. Défi- 
nition de quelques termes employés dans la géométrie de 
ces lignes. Ibid. 378. a. Defcartes eft le premier qui aitpenfé 
à exprimer les lignes courbes par des équations. Une courbe 
tracée n’eft autre chofe que la folution géométrique d’un 
problème indéterminé , c’eft-à-dire , qui a une infinité de 
folutions : c’eft ce que les anciens appelaient lieu géométrique. 
Les courbes fe divifent en algébriques & en tranfcendantes. 
Les premières font celles où la relation des abfciffes aux or- 
données peut être exprimée par une équation algébrique : 
exemples de telles courbes. Plufieurs n’admettent que les 
courbes algébriques ou géométriques dans la conftruélion 
des problèmes ; mais Newton & plufieurs autres font d’un 
fentiment différent. Courbe tranfcendante & méchanique , 
celle qu’on ne peut déterminer par une équation algébrique. 
L’équation d’une telle courbe ne peut être exprimée que par 
une équation différentielle , &c. Entre ces deux genres de 
courbes , on peut placer les exponentielles & les interfeen- 
dantes. Ibid. b. Courbes algébriques infinies , finies & mixtes. 
Réglé pour former le deflein d'une courbe par le moyen de 
fort équation. De la transformation des axes d’une courbe. 
Ibid. 379. a. Conféquence qu’on peut tirer des principes qui 
viennent d’être établis. i°. Les ordonnées pofitives doivent 
être prifes d’un même côté. 2 0 . Si on a deux valeurs , l’une 
pofitive , l’autre négative , il faudra les prendre de différens 
côtés. Lorfque les ordonnées font pofilives, elles appartien- 
nent toutes également à la courbe ; lorfqu’elles font néga- 
tives, il eft aifé de fe convaincre qu’elles ne lui appartien- 
nent pas moins ; car , &c. Ibid. b. On trouve donc ici une 
démonftration générale de ce que les géomètres n’ont fup- 
pofé jufqu’à préfent que par induélion. Valeurs que don- 
nent les différentes branches de la courbe. Lorfqu’on a or- 
donné l’équation d’une courbe par rapport k y ou k x , s’il 
ïte fe trouye point dans l’équation de terme confiant , la 
courbe paffe par l’origine. En général , fi on ordonne l’équa- 
tion d’une courbe par rapport à y , enforte que le dernier 
terme ne contienne que x avec des confiantes , & qu’on 
cherche les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme 
égal à ÿéro ; ces valeurs de x donneront les points où la 
courbe coupera fou axe. Lorfque la valeur de l’ordonnée 
y eft imaginaire , la courbe manque dans ces endroits-là. 
Ibid. 380. a. Quand 011 a l’équation d’une courbe , il faut 
examiner fi cette équation ne peut pas fe divifer en plufieurs 
équations rationnelles ; car alors l’équation fe rapporte à des 
courbes différentes. Pour ne point fe tromper là-defiùs , il 
faut mettre tous les termes de l’équation d’un côté & ^éro 
de l’autre , & voir enfuite fi l’équation eft réduélible en 
d’autres équations rationnelles. Les équations dans lefquelles 
l’équation apparente d’une courbe fe divife , n’en feroient pas 
moins rationnelles , quand elles renfermeroient des radicaux , 
pourvu que la variable x ne fe trouvât pas fous ces radicaux. 
Ibid. b. Les équations font encore rationnelles , quand même 
x fe trouveroit fous le figne radical , pourvu qu’on puiffe 
l’en dégager. Autre maniéré d’envifager l’équation des cour- 
bes , favoir , de déterminer une courbe par l’équation , non 
entre x 8 c y , mais entre les y qui répondent à une même 
abfciffe. Ibid. 381. a. 
Cours d’une courbe. Pour déterminer ce cours , on doit d’a- 
bord réfoudre l’équation de cette courbe , & trouver la va- 
leur de y en ï ; enfuite on prend différentes valeurs de x , 
& on cherche les valeurs dey correfpondantes. IV. 381. a. 
Méthode de décrire une courbe par plufieurs points. Les 
anciens n’ont guere connu que le cercle , les feélions co- 
niques , la conchoïde & la ciffoïde. On y ajoute les para- 
boles & hyperboles cubiques , & le trident de Defcartes : 
voilà où on en eft refté jüfqu’au traité des lignes du troifieme 
ordre de Newton. Ibid. b. 
Des courbes méchaniques. Si l’équation différentielle d’une 
courbe avoit une intégrale finie , cette courbe qui paroîtroit 
d’abord méchanique feroit réellement géométrique. Ufage 
que les anciens faifoient des courbes méchaniques ; les mo- 
dernes en ont multiplié le nombre à l’infini. C’eft principa- 
lement la géométrie de ces courbes qu’on appelle tranfcen- 
dante. L’auteur revient aux courbes algébriques. On a vu juf- 
qu’ici la transformation la plus générale ; l’auteur indique 
maintenant le moyen de faire des transformations plus Am- 
ples. IV. 381. b. En général, quelque transformation d’axe 
que l’on faffe , l’équation de la courbe ne change point de 
dimenfion. Ouvrages à confulter pour la maniéré d’abré- 
ger le calcul dans la transformation des axes. Courbes al- 
gébriques du même genre , du même ordre & du même 
dégré. On diftingue ces courbes en différens genres ou ordres* 
Les courbes du premier genre font celles dont l’équation 
monte à deux dimenfions ; dans celles du fécond , l’équation 
monte a trois , &c. Equation la plus générale des lignes du 
fécond ordre , Ibid. 382. a. de celles du troifieme ordre» 
L’équation d’une courbe du degré n étant ordonnée , cette 
équation aura autant de coëfficiens qu’il y a de termes , 
moins un. Donc fi on donne un pareil nombre de points , 
la courbe du 12 e . ordre , qui doit paffer par ces points, fera 
déterminable. Si quelques-uns des coëfficiens font indéter- 
minés , on pourra faire paffer plufieurs lignes du même ordre 
par les points donnés : 8 c fi les points donnés font tels que 
la courbe y puiffe. paffer , l’équation fera réduélible en plu- 
fieurs autres rationnelles. Si quelques coëfficiens fe trouvent 
infinis, l’équation fe fimplifie. Traité de Newton intitulé 
Enumeratio line arum tertii ordinis. Ouvrages où fe trouvent 
les démonftrations des propofitions renfermées dans ce traité. 
On rapporte ici quelques-uns des principaux articles de cet 
ouvrage. Newton remarque que les courbes du fécond 
genre & des genres plus élevés ont des propriétés analogues 
à celles du premier genre. Ibid. b. Expofition de ces diverfes 
propriétés analogues. Ibid. fè^.a^b. Divifion des courbes en 
différens genres. Ibid. 384. a. Réduélion des courbes du fé- 
cond genre à quatre efpeces. Enumération de ces courbes. 
Ibid. b. Les principes fur lefquels ces divifions font fondées 
font affez arbitraires ; 8 c en fuivant un autre plan , on pour- 
roit former aufli d’autres divifions. Méthode félon laquelle 
MM. Euler & Cramer ont établi leurs divifions des lignes 
du troifieme ordre ; & félon laquelle on peut faire la divifion 
des courbes d’un genre fupérieur. Ibid. 385. b. Réglé à fuivre 
pour rappeller à l’une des quatre formes de Newton une 
ligne quelconque du troifieme ordre dont l’équation eft 
donnée en { & en u. Ibid. 386. a. 
Points finguliers & multiples des courbes. Le point multiple 
eft celui qui eft commun à plufieurs branches qui fp coupent 
en ce point. Le point fimple eft celui qui n’appartient qu’à 
une branche. Il ne faut pas croire que le point foit multiple 
toutes les fois que l’ordonnée a plufieurs valeurs égales. La 
propriété de ce point , c’eft que l’ordonnée y a plufieurs 
valeurs égales , quelque fituation qu’on lui donne. Maniéré 
de trouver les points multiples. Les courbes de troifieme 
ordre ne peuvent avoir de points triples , ni une courbe du 
fécond genre ou ligne du troifieme ordre. Les courbes du 
fécond genre peuvent être coupées en trois points par une 
ligne droite. IV. 386. a. Ce qu’on appelle points finguliers. 
Defcription organique des courbes. Génération des courbes 
du fécond genre par les ombres. Ibid. b. Ufage des courbes 
pour la conftruétion des équations. L’ufage principal des 
courbes dans la géométrie , eft de donner par leur point 
d’interfeélion la lolution des problèmes. Ibid. 387. a. 
Courbe polygone. C’eft ainfi que dans la géométrie de l’in- 
fini on confidere les courbes. Il faut diftinguer , quand on 
traite une courbe comme polygone ou comme rigoureufe : 
cette attention eft fur-tout néceffaire dans la théorie des 
forces centrales & centrifuges. IV. 387. a. Reélification d’une 
courbe. Quadrature , inflexion d’une courbe. Famille des 
courbes : les équations qui repréfentent les familles de courbes 
ne doivent pas être confondues avec les équations expones' 
tielles. Toutes les courbes algébriques compofent , pour 
ainfi dire , une certaine famille , qui fe fubdivife en une 
infinité d’autres , dont chacune contient une infinité de genres. 
Erreur du P. Reyneau dans le fécond volume de fou ana- 
lyfe démontrée. Quels font les meilleurs ouvrages dans lef- 
quels on peut s’inftruire de la théorie des courbes. Ibid. b. On 
* peut faire paffer une courbe géométrique 8 c régulière par 
tant de points qu’on voudra d’une courbe quelconque irré- 
gulière, tracée fur le papier ; mais on ne parviendra jamais 
à faire coïncider l’une avec l’autre. Courbes qui fervent à 
rendre une courbe irrégulière la plus géométrique qu’il eft: 
pofftble. Il y a des courbes , par exemple , les ovales , par 
lefquelles on ne peut jamais faire paffer une courbe de genre 
parabolique. Ibid. 388. a. 
Courbe à double courbure. M. Clairaut a donné un traité, 
de ces courbes. On peut projetter une telle courbe fur deux 
plans différens perpendiculaires l’un à l’autre , &c. De l’é- 
quation de ces courbes. IV. 388. a. Comment on en peut avoir 
les tangentes. Ces courbes peuvent être ou algébriques ou 
méchaniques. Ibid. b. 
Surfaces courbes. Une telle furface eft repréfentée par une 
équation à trois variables , par exemple , x , y 8 c £. Def- 
cartes eft le premier qui ait déterminé ces furfaces de cette 
maniéré. Surface courbe géométrique. Surface courbe mé- 
chanique. Comment on en peut repréfenter l’équation. Re- 
cherches fur la ligne la plus courte que l’on puiffe tracer fur. 
