572 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
La “ vague expérience „ dont il vient d’être question ne serait 
pas suffisante pour établir ce théorème au regard des mathéma- 
ticiens. L’habitude de leur esprit les pousse à y regarder de plus 
près; il leur faut une démonstration qui ramène le principe qu’il 
s’agit de leur faire admettre à un autre plus simple. Pour dé- 
montrer le théorème de Bernoulli, M. Bertrand commence par 
établir le principe des épreuves répétées, et la conséquence qui 
en résulte relativement à la combinaison la plus probable pour 
un nombre donné d’épreuves. 
L’extension de ce principe à un nombre très grand d’épreuves 
exige l’emploi de la formule de Stirling. Cette formule se trouve 
établie dans tous les traités d’Analyse, mais, à titre de hors- 
d’œuvre, M. Bertrand en donne une démonstration directe des 
plus élégantes. 
Enfin, après avoir défini Y écart, et en avoir étudié les pro- 
priétés, l’auteur arrive à l’expression mathématique du théo- 
rème de Jacques Bernoulli. 
M. Bertrand insiste sur les conditions que requiert l’applica- 
tion de ce théorème. Avant tout, il est essentiel que la proba- 
bilité mise enjeu ait une valeur objective. L’auteur cite divers 
exemples de probabilités subjectives. Nous choisirons le sui- 
vant, qui nous a paru topique : “ Le roi de Siam a quarante ans, 
quelle est la probabilité pour qu’il vive dans dix ans? Elle est 
autre pour nous que pour ceux qui ont interrogé son médecin, 
autre pour le médecin que pour ceux qui ont reçu ses confiden- 
ces; très différente enfin pour des conjurés qui prendraient leurs 
mesures pour l’étrangler le lendemain. „ 
Il est non moins nécessaire, pour que l'application du théo- 
rème de Bernoulli soit légitime, que la probabilité de l’événe- 
ment considéré soit constante d’une épreuve à l’autre. Pourtant 
M. Bertrand cite un cas d’exception, où le théorème est appli- 
cable malgré la variation des chances pendant les épreuves. 
L’auteur indique encore deux démonstrations élémentaires 
de cet important théorème fondées l’une sur la considération de 
la valeur probable du carré de l’écart, l’autre sur celle de la 
valeur probable de l’écart absolu. 
Le titre du chapitre suivant contient à lui seul tout un ensei- 
gnement: La raine des joueurs. Cet enseignement n’a malheureu- 
sement chance de convaincre que ceux qui n’ont rien à en reti- 
rer, en vertu du proverbe : Il n’est de pires sourds que ceux qui 
ne veulent pas entendre. La question n’en a pas moins un puissant 
intérêt; elle est développée par M. Bertrand avec tout le soin 
qu’elle comporte. 
