2 9 ° 
REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
les difficultés qui avaient exercé Poinsot et Poisson, au sujet des 
limites entre lesquelles sont applicables certains développements 
de fonctions trigonométriques; une note sur les formules de 
Taylor et de Maclaurin, où se trouve l’expression du reste à 
laquelle le nom de Cauchy est encore attaché; une autre, établis- 
sant entre deux intégrales définies une relation ingénieuse qui lui 
permet de retrouver une formule de Legendre avec beaucoup 
d’autres; une note sur le théorème arithmétique de Farey; un 
mémoire sur un théorème d’analyse, dans lequel, d’une propriété 
très simple des fonctions entières, Cauchy tire toute une série 
de corollaires vraiment intéressants dont nous recommandons 
l'étude aux jeunes algébristes. 
La théorie des nombres a sa part dans ce recueil par deux 
beaux mémoires: l’un, sur la résolution de quelques équations 
indéterminées en nombres entiers, contient la résolution des équa- 
tions homogènes à deux ou à trois variables, jusqu’au troisième 
degré, avec une foule de résultats d’une généralité remarquable ; 
l'autre, qui a pour titre : Démonstration du théorème général de 
Fermât sur les nombres polygones, est la reproduction du fameux 
mémoire couronné par l’Institut en 1 8 1 5. Après avoir remporté 
déjà un prix sur une question ardue de géométrie, Cauchy avait 
montré la flexibilité de son génie en abordant une question de 
la théorie des nombres, qui arrêtait les plus grands géomètres. 
Il s’agissait du célèbre théorème de Fermât : Tout nombre entier 
est décomposable en trois nombres triangulaires, quatre carrés, 
cinq pentagones, etc. Legendre et Gauss n’avaient su prouver 
que des cas particuliers du théorème. Cauchy établit le théo- 
rème dans toute sa généralité, et le complète même, en prou- 
vant que l’on peut résoudre en nombres entiers, dans des condi- 
tions qu’il précise, certaines équations indéterminées à quatre 
inconnues. 
La géométrie est représentée, dans le volume dont nous par- 
lons, par quelques mémoires relatifs à la théorie du contact des 
courbes, des surfaces, etc. Dans une première note, Cauchy dé- 
montre que si deux courbes se touchent et qu’à partir du point 
de contact on prenne des arcs égaux sur les deux courbes, la 
droite qui joint leurs extrémités tend à devenir normale aux 
deux courbes lorsque ces arcs décroissent indéfiniment. Il part 
de là pour déterminer la normale principale. Dans un autre 
travail, après avoir établi quelques principes généraux sur les 
divers ordres de quantités infiniment petites, il propose des mo- 
difications à la définition de l’ordre du contact des courbes et 
