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différents. Ces travaux présentent aujourd’hui un intérêt qui, 
pour être rétrospectif, 11’en est pas moins très puissant, parce 
que le lecteur au courant des théories modernes sur les fonctions 
des variables imaginaires peut y suivre la marche progressive 
des idées de Cauchy vers les principes qu’il développa en 1846 
et qui jouent un rôle si capital dans l’analyse actuelle. Les 
notions développées dans V Analyse algébrique, le mémoire cou- 
ronné de 1814 sur les intégrales définies, le mémoire de 1825 
sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, etc., appar- 
tenaient déjà à cet ordre de recherches qui devait tenir une si 
grande place dans la vie de Cauchy. 
Dans un premier article, Sur un nouveau genre de calcul ana- 
logue au calcul infinitésimal, Cauchy expose les définitions et les 
propriétés fondamentales des résidus, tels qu’il les considérait à 
cette époque; il donne la manière de calculer les résidus d’une 
fonction pour les divers infinis simples ou multiples compris 
dans une région donnée, et le résidu qu’il appelle intégral. Déjà 
deux belles applications à la décomposition des fractions ration- 
nelles et à la formule d’interpolation de Lagrange mettent en 
lumière la fécondité de cette idée profonde. 
Un autre article est consacré à déduire, des principes exposés 
dans le premier, une formule très générale, donnant la somme 
d’une suite finie où entrent deux fonctions arbitraires de deux 
variables qui se confondent après les calculs effectués. La for- 
mule renferme, comme cas particuliers, un grand nombre de 
résultats intéressants dont plusieurs étaient déjà connus. 
Les intégrales extraordinaires, sujet d'un autre article, se rat- 
tachent encore à la théorie des résidus, et servent à calculer les 
valeurs d’un grand nombre d’intégrales définies par des for- 
mules générales. 
Dans son Mémoire sur l’influence que .peut avoir sur la valeur 
d’une intégrale double l’ordre dans lequel on effectue les intégra- 
tions, nous retrouvons encore des principes en liaison étroite 
avec le calcul des résidus. Les théorèmes principaux qui résu- 
ment toute la théorie ici exposée (et qui n’est, au fond, que celle 
du mémoire de 1814) sont, sous une forme encore imparfaite, 
identiques avec les principes sur les intégrales imaginaires éten- 
dues à un contour fermé qui embrasse des infinis de la fonction 
à intégrer. Or, l’évaluation de ces intégrales n’est qu’une ques- 
tion de résidus. 
Le mémoire suivant : Sur diverses relations qui existent entre 
les résidus des fonctions et les intégrales définies , manifeste dans 
