5g6 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
teurs réciproques, y compris les propriétés des surfaces anallag- 
matiques. 
Tout ce qui précède peut être considéré comme une introduc- 
tion à l’étude des transcendantes engendrées par l’intégration 
définie, qui s’ouvre avec le chapitre v. Après quelques géné- 
ralités sur les fonctions implicites définies par des équations diffé- 
rentielles, l’auteur examine les transcendantes auxquelles conduit 
l’intégration des fonctions rationnelles, des fonctions algébriques 
de genre zéro et de genre un, et démontre, d’après Liouville, l’im- 
possibilité d’exprimer les fonctions abéliennes au moyen des 
signes ordinaires de l’algèbre. Le chapitre se termine par le 
célèbre théorème d’Abel, que M. Laurent applique aussitôt à un 
système hyperelliptique et dont il fait connaître une généralisa- 
tion. 
Dans le chapitre vi, l’auteur expose la théorie des intégrales 
elliptiques telle qu’elle a été fondée à l’époque de Legendre, y 
compris le problème de la transformation et son application à la 
réduction des intégrales elliptiques. Suit la théorie des fonctions 
elliptiques (chap. vii) exposée au moyen des méthodes rapides 
inaugurées par Cauchy. 
Après cette étude directe, M. Laurent se place au point de vue 
plus élevé de la théorie générale des fonctions doublement 
périodiques pour en déduire d’une façon systématique les pro- 
priétés des fonctions elliptiques. Ce chapitre vin renferme un 
exposé très suffisamment complet de la théorie des fonctions 
auxiliaires. A propos du théorème de Liouville sur la possibilité 
d’exprimer, au moyen d’une fonction du second ordre et de sa 
dérivée, toute fonction possédant les mêmes périodes, signalons 
un perfectionnement dû à M. Laurent, à savoir la forme même 
de cette expression, que Liouville n’avait pas donnée. La formule 
de M. Laurent résout le problème de la transformation comme 
l’entendait Jabobi. 
Le problème de la transformation se trouve d’ailleurs déve- 
loppé dans le chapitre suivant (ix), qui est relatif aux fonctions 
modulaires et renferme entre autres deux importants théorèmes 
de M. Picard. 
Le chapitre x est consacré à des applications géométriques 
de la théorie des fonctions elliptiques (théorèmes de Fagnano, 
Graves, Mac-Cullagh, Chasles, Landen, courbes de J.-A. Serret, 
roulette de Delaunay,...). Nous signalerons une bien jolie démon- 
stration du théorème de Poncelet sur les polygones inscrits et 
circonscrits à deux coniques, démonstration qui, d’après ce que 
