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REVUE des questions scientifiques 
do Stockholm sur la théorie analytique des équations différen- 
tielles (1), qu’à part un petit nombre d’équations qui se laissent 
ramener à l’équation de Riccati, les équations de la forme 
di/ = P (x, y) 
dx (J {x, y) 
dont le scond nombre est une fonction rationnelle de //, algé- 
brique de ,r, définissent des fonctions multiformes possédant un 
nombre infini de branches, fonctions sur la nature desquelles 
nous ne possédons jusqu’ici, pour ainsi dire, aucune indication 
positive. C’est à l’étude extraordinairement difficile de ces 
fonctions que .M. Boutroux n’a pas craint de s’attaquer en 
s’inspirant largement des vues nouvelles récemment introduites 
dans la théorie des fonctions. 
Dans un premier chapitre, l’auteur expose les notions fonda- 
mentales qu’il prend pour point de départ. Ayant rappelé le 
théorème de Cauchy sur l’existence de l’intégrale autour d’un 
point ordinaire, il passe en revue les diverses espèces de singu- 
larités qui font tomber ce théorème en défaut, et qu’il range en 
cinq catégories. Il rappelle ensuite le théorème de M. Painlevé 
sur les valeurs que prend une intégrale lorsqu’on fait parcourir 
à la variable un chemin quelconque, d’où résulte que toute 
équation du type envisagé qui n’est pas une équation de Riccati 
a pour intégrale générale une fonction multiforme; et il 
démontre I importante proposition du savant géomètre établis- 
sant que seules les équations réductibles à cette équation 
admettent pour intégrales des fonctions multiformes à nombre 
fini de branches. Il expose ensuite la voie dans laquelle il lui 
semble possible de rechercher les éléments d’une théorie géné- 
rale, encore inexistante, des transcendantes multiformes et 
développe, à cette occasion, quelques remarques générales sur 
les points-limites de leurs déterminations, et fait ressortir la 
possibilité de construire des surfaces de Riemann sur lesquelles 
une fonction multiforme donnée puisse être regardée comme 
uniforme. L’un des principaux objets de la théorie recherchée 
sera précisément d’obtenir, pour chaque type nouveau de fonc- 
tions uniformes, une représentation aussi simple que possible 
et appropriée à leur nature, sur une surface de Riemann. Pour 
clore ces préliminaires, il présente enfin quelques considé- 
rations sur l’usage qui peut-être fait, dans la théorie des équa- 
(1) Voir la livraison d’octobre 1897 de la Revue, p. 599. 
