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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES 
cette étude jette une nouvelle lumière sur le mécanisme des 
permutations au voisinage d’une singularité transcendante. 
Dans un dernier et court chapitre, il esquisse une étude des 
relations entre les singularités transcendantes d'une même équa- 
tion, sur quelques exemples simples. 
Le volume est complété par une importante note de M. Pain- 
levé dans laquelle ce savant géomètre résume, sous une forme 
saisissante, ses profondes recherches sur les équations dilféren- 
lielles du premier ordre dont l’intégrale générale n’a qu’un 
nombre fini de branches. La lecture de cette note peut être, 
pour les jeunes analystes, suggestive de recherches d’un haut 
intérêt. M. Painlevé indique, en elïel, lui-même que, pour que 
les résultats qu’il a complètement établis dans le cas où le 
nombre des branches est égal à 2 s’étendissent en toute rigueur 
(comme il n’est pas douteux que cela puisse se faire) au cas où 
ce nombre est quelconque, tout en restant fini, il faudrait mettre 
hors de toute discussion la démonstration de l’un ou l’autre des 
théorèmes A et B que voici : 
A. — Si dans la relation 
y m + A «-.(O*/’”- 1 ■+•■' + Aj(0 y -P A 0 (0 = 0 
les A j sont des fonctions uniformes île t n ayant qu’un nombre 
fini de points essentiels, les points singuliers transcendants de la 
fonction t(y) ainsi définie forment nécessairement un ensemble 
dénombrable. 
B. — Une fonction uniforme, continue dans une aire D, et qui 
est holomorphe dam celle aire, sauf peut-être pour un ensemble 
parfait partout discontinu de points singuliers, est holomorphe 
dans toute l’aire. 
Si l’on ne peut pas encore dire, après ce premier et très 
remarquable essai, que M. Boutroux ait pénétré très avant dans 
la région d’un accès si exceptionnellement difficile qu’il s’est 
donné pour mission d’explorer, on doit toutefois reconnaître 
qu’il a ouvert des sentiers par où il semble nécessaire de passer 
tout d’abord pour atteindre au cœur de cette région. Les très 
hautes facultés dont il a ainsi donné la preuve, et qu’on n’est 
point étonné de rencontrer chez le propre neveu de M. Poincaré, 
permettent d’espérer que lui-même, par la suite, saura réaliser 
de nouvelles conquêtes dans cette voie. 
M. 0. 
