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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
d’équations  auxiliaires  de  degré  moindre.  Il  a montré  que 
la  possibilité  de  cette  résolution  dépend  de  la  structure  du 
groupe  de  l’équation.  Ceci  demande  quelque  explication. 
Galois  définit  déjà  le  Domaine  de  Rationalité , « ensemble 
des  fonctions  rationnelles  à coefficients  entiers  de  certains 
paramètres  « (Kronecker  a insisté  sur  l’importance  de  ce 
concept).  D’autre  part.  Cauchy  avait  déjà  commencé  à étu- 
dier les  groupes  de  substitutions. 
Soit  une  suite  de  substitutions  sur  n lettres.  Si  les 
inverses  et  les  produits  de  deux  substitutions  quelconques 
de' la  série  font  encore  partie  de  la  série,  l’ensemble  forme 
un  groupe. 
Cela  posé,  Galois  considère  une  fonction  rationnelle  Y 
des  racines  x qui  prend  des  valeurs  différentes  lorsque  l’on 
fait  toutes  les  substitutions  sur  les  lettres  x , et  il  démontre 
d’abord  qu’une  racine  quelconque  s’exprime  rationnelle- 
ment en  fonction  de  l’une  quelconque  des  valeurs  de  V, 
d’où  résulte  immédiatement  un  groupe  G de  substitutions 
des  racines.  Galois  appelle  G le  groupe  de  l'équation  dans 
le  domaine  auquel  appartiennent  les  coefficients  de  V.  Son 
théorème  fondamental  est  le  suivant  : 
« Une  fonction  rationnelle  des  racines,  invariable  par 
les  substitutions  du  groupe  G,  appartient  au  domaine  de 
rationalité.  — Une  fonction  rationnelle  des  racines,  appar- 
tenant au  domaine,  reste  invariable  par  les  substitutions 
du  groupe.  « 
L’on  sait  par  là  que  tout  progrès  de  la  théorie  des 
groupes  de  substitutions  sera  un  progrès  dans  la  théorie 
des  équations  algébriques. 
Dans  le  magistral  « Traité  qu’il  a publié  en  1870, 
M.  Camille  Jordan  a considérablement  développé  les  idées 
de  Galois  en  y ajoutant  les  siennes  propres.  En  particu- 
lier, le  problème  de  la  résolution  des  équations  par  radi- 
caux est  entièrement  résolu  dans  cet  ouvrage  qui  serait 
déjà  fondamental  au  point  de  vue  de  l’étude  des  groupes 
« en  soi  ». 
