182 
REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
conduisait  également  à l’étude  des  formes  et  de  ces  fonc- 
tions de  leurs  coefficients  restant  inaltérées  lorsque  les 
variables  subissent  une  substitution  linéaire  : les  Inva- 
riants. 
Rappelons  simplement  que  depuis  Boole,  MM.  Cayley, 
Sylvester,  Hermite,  Briosehi,  Aronhold,  Clebsch,  Gordan, 
Christoffel,  Kronecker,  Weierstrass,  Hilbert,  Deruyts, ... 
ont  écrit  sur  les  formes  des  travaux  de  la  plus  haute  impor- 
tance et  dont  nous  ne  pouvons  guère  ici  donner  une  idée. 
Nous  signalerons  seulement  ce  fait  capital,  que  MM. 
Sophus  Lie  et  Félix  Klein  ont  mis  en  évidence  dans  ces 
trente  dernières  années  : 
« Les  propriétés  des  expressions  qui  restent  invariantes 
pour  une  classe  quelconque  de  transformations  sont  essen- 
tiellement définies  par  les  propriétés  du  groupe  de  ces 
transformations.  « Nous  retrouvons  ici  les  groupes,  c’est- 
à-dire  l’influence  de  Galois. 
C’est  surtout  l’étude  des  formes  quadratiques  qui  a été 
très  avancée  dans  ce  siècle. 
D’abord  une  telle  forme  à n variables  se  peut  transfor- 
mer en  une  somme  algébrique  de  n carrés.  Des  travaux  de 
Jacobi  et  de  Sylvester  résulte  le  théorème  d’inertie  : 
« Quelles  que  soient  les  substitutions  linéaires  effec- 
tuées, le  nombre  des  carrés  positifs  et  le  nombre  des  carrés 
négatifs  restent  les  mêmes.  » 
Il  existe  donc  des  formes  essentiellement  positives,  qui 
ont,  par  suite,  un  minimum. 
Hermite  avait  donné  une  limite  pour  ce  minimum. 
M.  Minkowski  a donné  une  limite  plus  serrée.  M.  Hurwitz 
a aussi  été,  dans  ces  questions,  le  continuateur  d’Hermite. 
Deux  formes  quadratiques  sont  équivalentes  lorsque,  par 
une  substitution  linéaire,  l’on  passe  de  l’une  à l’autre.  L’on 
doit  à M.  Camille  Jordan  la  solution  complète  de  ces  deux 
questions  : 
— Trouver  les  conditions  d’équivalence  de  deux  sys- 
tèmes de  deux  formes  quadratiques? 
