LŒUYRE  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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— Trouver  toutes  les  substitutions  qui  transforment  un 
système  en  lui-même? 
Kronecker  avait  résolu  le  premier  problème,  mais  non 
point  le  deuxième.  La  théorie  des  formes  quadratiques  est 
liée  à celle  des  transcendantes  thêta,  à la  Théorie  des 
Nombres  et  à la  Géométrie  analytique  qu’elle  permet  de 
voir  de  très  haut.  Nous  ne  pouvions  ici  qu’apercevoir  ces 
vastes  horizons. 
THÉORIE  DES  NOMBRES 
L’Arithmétique  est  la  science  des  polynômes  où  les 
variables  comme  les  coefficients  prennent  des  valeurs 
entières.  L’on  pourrait  dire  aussi  que  l’Arithmétique  est 
la  science  des  diverses  modalités  du  nombre. 
Le  premier  grand  arithméticien  a été  Fermai,  qui  vivait 
au  xvne  siècle.  Ses  successeurs  sont  Euler,  Lagrange, 
Legendre,  Gauss,  Dirichlet,  Kummer,  Kronecker,  Tche- 
bychef,  Hermite,  Smith,  Dedekind,  Weber. 
Gauss  a introduit  l’idée  de  congruence,  d’une  extrême 
fécondité  : si  a — b est  divisible  par  n,  on  écrit  la  con- 
gruence (équation  généralisée)  : 
a = b ...  (module  n). 
Nous  n’insisterons  pas  sur  les  restes  quadratiques,  sur  le 
symbole  de  Legendre,  sur  le  théorème  de  réciprocité,  connu 
d’Euler,  démontré  par  Gauss  et  après  lui  par  beaucoup 
d’autres  géomètres.  Mais  nous  voulons  nous  arrêter  à un 
théorème  de  Lagrange,  pour  les  réflexions  qu’il  nous 
suggérera  relativement  à la  structure  intime  des  nombres. 
Un  nombre  rationnel  tel  que  c’est  un  certain  groupe- 
ment de  deux  entiers  : Kronecker,  MM.  Dedekind, 
G.  Cantor,  Méray,  du  Bois  Reymond,...  ont  suffisamment 
insisté  sur  ce  point  depuis  trente  ans. 
Un  nombre  tel  que  y 2 se  définit  par  deux  suites  dé- 
