l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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Généralités  sur  les  fonctions 
Il  y a deux  siècles,  une  fonction  c’était  une  puissance 
de  la  variable  : y = xp.  Puis,  sous  l'influence  des  pro- 
grès de  la  géométrie  analytique,  fondée  par  Descartes  et 
Fermât,  une  fonction  a été  considérée  comme  définie  par 
une  courbe  ou  par  une  surface. 
Le  xixe  siècle  a dû  introduire  la  rigueur  dans  ces 
concepts  intuitifs.  L’on  a donné  pour  les  fonctions  d’une 
variable,  une  définition  analytique  de  la  continuité.  Pour 
les  fonctions  de  n variables,  on  a distingué  la  conti- 
nuité relative  à chaque  variable  isolément  de  la  conti- 
nuité relative  à l’ensemble  des  variables.  Tout  récemment 
M.  Baire,  après  M.  Dini,  a approfondi  ces  questions.  Il 
a fondé  sur  la  théorie  des  ensembles,  une  classification 
des  fonctions  discontinues.  Ce  sont  là  des  recherches  très 
abstraites  du  plus  grand  intérêt. 
Une  fonction  continue  admet,  ou  non,  une  dérivée. 
Ce  résultat,  très  imprévu,  ressort  des  travaux  de  Riemann, 
de  M.  Darboux,  de  Weierstrass.  On  possède  des  exemples 
très  simples,  d’après  MM.  Peano  et  Hilbert,  de  fonctions 
continues  non  dérivables. 
Voici  un  second  caractère  pour  une  classification  très 
générale  des  fonctions.  Une  fonction  continue  est  inté- 
grable. Mais  une  fonction  qui  est  seulement  déterminée 
pour  toute  valeur  de  la  variable  (dans  un  certain  inter- 
valle) peut  être,  ou  non,  intégrable. 
Ceci  est  dû  surtout  à Riemann  et  à M.  Darboux. 
Une  fonction  continue  et  admettant  des  dérivées  de 
tous  les  ordres,  peut  être  développable  en  série  de  Taylor  : 
00 
— cin  xn . 
n — 0 
Elle  peut  aussi  ne  pas  l’être  et  cela  résulte  des  travaux 
de  MM.  Pringsheim  et  Borel.  Nous  verrons  que  letude 
des  fonctions  tayloriennes  est  précisément  de  ces  ques- 
