l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE.  1 89 
il  suppose  seulement  pour  cela  que  la  fonction  ne  présente 
pas  de  singularités  spéciales  en  des  points  formant  un 
certain  ensemble. 
Nous  avons  indiqué  rapidement  les  principales  classes 
de  fonctions. 
Nous  avons  dit  qu’une  fonction,  dans  un  intervalle  oii 
elle  est  continue,  est  intégrable  ; l’on  peut  ajouter  qu’elle 
est  développable  en  une  série  convergente  de  polynômes. 
Nous  retrouverons  bientôt  ces  séries. 
Sur  les  concepts  fondamentaux  de  l’Analyse,  sur  les 
modes  de  croissance  des  fonctions,  les  modes  de  conver- 
gence des  séries,  nous  devons  citer  ici  les  travaux  de  M.  P. 
du  Bois-Reymond. 
Disons  enfin  que  les  fonctions,  en  général,  sont  définies 
par  certaines  propriétés,  ou  par  des  expressions  analyti- 
ques, ou  par  les  équations  fonctionnelles,  qu’ont  étudiées 
Abel...,  M.  Pincherle...,  M.  Bourlet. 
D’ailleurs,  les  équations  différentielles,  ordinaires  ou 
aux  dérivées  partielles,  données  à priori , constituent, 
peut-être,  la  source  la  plus  naturelle,  la  plus  importante 
de  fonctions  nouvelles. 
ANALYSE  INFINITÉSIMALE.  — II.  DOMAINE  COMPLEXE 
Soient  deux  variables  réelles  x et  y et  la  variable  com- 
plexe : 
z = x 4-  iy. 
Puis,  soient  deux  fonctions  réelles  N (x,  y)  et  Y (x,  y) 
et  posons  : 
Z = X -M  Y. 
Pour  que  la  dérivée  de  Z par  rapport  à z dépende  seu- 
lement de  *,  l’on  trouve  que  X et  Y doivent  satisfaire  à 
l’équation  de  Laplace  : 
