REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
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L’on  peut  dire,  dans  ces  conditions,  que  Z est  une  fonc- 
tion de  s : Cauchy  disait  « fonction  synectique  » . 
M.  Goursat  a montré  que  la  théorie  de  Cauchy  suppose 
seulement  la  continuité  de  Z et  l’existence  de  sa  dérivée. 
Dès  1825,  Cauchy  a montré  qu’une  telle  fonction  est 
intégrable  et  que  l’intégrale  curviligne  dépend  des  points 
extrêmes  et  non  point  du  chemin  qui  les  relie. 
La  fonction  Z f(z)  étant  donnée  sur  une  courbe 
fermée  C,  les  intégrales  de  Cauchy  donnent  immédiate- 
ment la  valeur,  en  un  point  intérieur  à la  courbe,  de  la 
fonction  et  de  toutes  les  dérivées  successives. 
L’on  en  déduit  aussitôt  le  développement  de  Z,  autour 
d’un  point  z0  de  l’aire  limitée  par  C,  en  série  taylorienne  : 
f u)  = «o  + a\  {z  — *0)  + 4~  °n  [z  — zo)u  4~ 
Cette  série  de  puissances  converge  absolument  et  uni- 
formément dans  un  cercle  de  centre  z0  et  de  rayon  R. 
M.  J.  Hadamard  a retrouvé,  après  Cauchy,  la  valeur  de 
R en  fonction  des  an. 
Une  fonction  synectique  est  donc  analytique  ou  holo- 
morphe,  c’est-à-dire  développable  en  série  de  Taylor  en 
tout  point  où  elle  reste  bien  synectique. 
Pour  Cauchy  une  telle  fonction  est  définie  par  une 
intégrale  relative  à un  contour  C sur  lequel  la  fonction 
est  donnée.  La  théorie  peut  être  développée  à ce  point  de 
vue.  Riemann  conçoit  autrement  la  fonction  complexe  : 
Il  la  dissocie,  pour  ainsi  parler,  et  étudie  surtout  les 
deux  équations  aux  dérivées  partielles  AX  = o,  A Y = o 
dans  le  domaine  réel.  Il  remarque  d’ailleurs,  avec  Gauss, 
qu’il  existe  entre  les  deux  plans  (XY)  et  (xy)  une  corres- 
pondance qui  conserve  les  angles.  Pour  Riemann,  la 
notion  de  fonction  complexe  revient  à la  notion  intuitive 
de  représentation  conforme  d’un  plan  sur  un  plan. 
