l’œuvre  mathématique  du  xixe  siècle.  1 9 1 
Nous  reviendrons  ultérieurement  sur  ces  belles  images 
géométriques,  et  sur  l’influence  immense  quelles  ont  eue. 
Revenons  à Cauchy.  L’illustre  géomètre  n’a  pas  porté 
son  attention  sur  les  points  où  la  fonction  cesse  d’être 
synectique,  points  qui  peuvent  s’agglomérer  et  former  des 
lignes  continues  au  delà  desquelles  l’on  ne  voit  plus  ce  que 
devient  la  fonction.  Il  était  réservé  à Weierstrass  d’intro- 
duire dans  la  science  le  concept  de  domaine  d'existence 
d’une  fonction  analytique. 
La  fonction  est  définie  par  un  élément  : 
S0  = «o  a\  [z  zo)  “h  + an  (■ z *o)n  
développement  convergent  dans  un  cercle  C0  de  centre  zQ 
et  de  rayon  R0.  Sur  la  circonférence  du  cercle  de  con- 
vergence, il  est,  au  moins,  un  point  critique  (où  la  fonction 
n’est  plus  synectique). 
Prenons  un  point  zlt  dans  le  cercle  C0  et  formons  une 
série  S1?  en  [z  — zY),  qui  soit  identique  à S0  dans  l’aire  C0. 
Le  développement  converge  dans  l’aire  d’un  cercle 
de  centre  zY  et  de  rayon  R!  ; par  une  série  de  cercles  se 
recoupant  ainsi,  l’on  atteint  dans  tout  le  plan  une  certaine 
aire  : sa  frontière,  enveloppe  des  circonférences  extrêmes, 
limite  le  domaine  d’existence  de  la  fonction.  Cette  défini- 
tion de  la  fonction,  en  partant  d’un  élément,  ce  prolonge- 
ment par  cheminement  sont  dus  à Weierstrass  et,  indé- 
pendamment, à M.  Méray. 
Dans  le  domaine  d’existence  l'on  peut  avoir  des  points 
singuliers  isolés  qui  sont  des  pôles,  si  autour  de  ces 
points  a la  fonction  est  de  la  forme  : 
(I + + + série  infinie  en  <z  — a ) 
et  des  points  essentiels  si  dans  le  développement  précé- 
dent m est  infini.  La  frontière  contient  un  ensemble  de 
points  singuliers  autres  que  des  pôles.  Ces  points  peuvent 
former  une  ligne  sans  courbure...  A la  notion  des  pôles 
