l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE.  i g3 
donnée  par  un  élément  analytique  dont  le  rayon  de  con- 
vergence est  nul.  M.  Borel  a retrouvé,  par  ses  méthodes, 
un  théorème  que  venait  de  découvrir  M.  Mittag-Leffler  : 
« Une  fonction  analytique  peut  être  représentée  dans 
tout  son  domaine  d’existence,  par  une  série  de  poly- 
nômes. « 
Nous  touchons  ici  à la  question  très  intéressante,  à 
peine  ébauchée,  de  la  représentation  analytique  des  fonc- 
tions ayant  des  singularités  données  d’avance.  MM.  Range 
et  Painlevé  ont  donné  sur  ce  point  de  beaux  Mémoires, 
comme  aussi  M.  Mittag-Leffler. 
L’on  voit  quel  ensemble  de  travaux  a suscité  la  concep- 
tion de  Weierstrass.  Son  concept  de  domaine  d'existence  et 
de  frontière  a été  étudié  très  avant.  L’on  doit  à MM.  Pain- 
levé,  Poincaré,  Appell,  des  théorèmes  qui  montrent  com- 
bien sont  délicates  ces  considérations. 
Mais  tandis  que  Weierstrass  excluait  de  son  étude  la 
frontière  même  du  domaine,  MM.  Hadamard,  Painlevé, 
Borel  étudient  les  frontières  ; M.  Borel  les  franchit  même 
et  dans  des  espaces  lacunaires,  aires  dont  tous  les  points 
seraient  singuliers  d’après  la  définition  de  Weierstrass, 
il  définit,  dans  certains  cas,  un  prolongement  de  la 
fonction. 
L’on  voit  le  rôle  immense  de  la  série  de  Taylor  dans  la 
science  actuelle. 
Il  y a cent  ans,  parmi  les  géomètres,  les  uns  effrayés 
par  certaines  monstruosités  auxquelles  avait  conduit  l’em- 
ploi des  séries  divergentes,  les  voulaient  proscrire.  Cauchy 
et  Abel  hésitaient  à trancher  absolument. 
Aujourd’hui  l’on  sait  qu’il  y en  a de  mauvaises  et  de 
bonnes. 
D’ailleurs,  dès  1886,  MM.  Stieltjes  et  Poincaré 
introduisaient  en  analyse  les  séries  asymptotiques,  dont 
les  astronomes  se  servent  hardiment.  D’autre  part, 
MM.  Halphen,  Laguerre,  Stieltjes,  Padé  ...  ont  trans- 
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