l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE.  i g5 
chacune  des  équations  E (zj  ~ a,  E (z)  = b aurait  seule- 
ment un  nombre  limité  de  racines. 
La  démonstration  de  M.  Picard  repose  sur  une  pro- 
priété de  la  fonction  elliptique  modulaire.  M.  Borel  est 
parvenu  à une  démonstration  plus  directe  et  à une  géné- 
ralisation du  beau  théorème  de  M.  Picard. 
Laguerre  a introduit  la  notion  de  genre.  La  distribu- 
tion des  zéros  dépend  du  genre.  Il  en  est  de  même  de  la 
croissance  de  la  fonction,  comme  l’ont  montré  MM.  Poin- 
caré et  Hadamard. 
M.  Borel  a complété  encore  ces  recherches  en  intro- 
duisant la  notion  d 'ordre.  Les  fonctions  entières  jouent 
un  grand  rôle  dans  sa  théorie  des  séries  divergentes. 
L'on  rencontre  de  telles  fonctions,  en  Arithmétique, 
dans  la  recherche  du  nombre  des  nombres  premiers  infé- 
rieurs à N . Partant  de  l’identité  d’Euler  : 
(n  est  un  entier  quelconque  et  p un  nombre  premier  quel- 
conque), Riemann  introduit  les  fonctions  ? (s)  et  Z (s). 
M.  Hadamard  a démontré  le  premier  que  la  fonction 
entière  Z ( s ),  en  tant  que  fonction  de  s2,  est  de  genre  zéro. 
MM.  von  Mangoldt,  Ch. -J.  de  la  Vallée  Poussin,  ont 
aussi  étudié  ces  fonctions  et  M.  Jensen  a annoncé  récem- 
ment ce  résultat  : - Les  racines  de  l’équation  Z (a-)  o 
sont  réelles.  « 
Ce  difficile  problème  d’arithmétique,  dont  Legendre  et 
Dirichlet  s’étaient  occupés,  n’a  fait  un  premier,  très  réel, 
progrès  qu’avec  Riemann  et  son  idée  géniale  de  passer 
pour  la  variable  s du  domaine  réel  au  domaine  complexe. 
Fonctions  elliptiques.  Intégrales  elliptiques 
Une  fonction  entière  aura,  en  général,  pour  s — oo  un 
point  singulier  essentiel,  car  une  fonction  uniforme  sans 
y 
= ii 
