REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
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L’on  a étudié  les  fonctions  de  n variables,  chaque 
variable  ayant  une  paire  de  périodes  : ce  sont  les  fonctions 
abéliennes,  provenant,  comme  les  fonctions  elliptiques, 
d’une  inversion,  et  exprimables  par  un  quotient  de  fonc- 
tions thêta  (fonctions  thêta  généralisées  à plusieurs 
variables).  La  théorie  des  fonctions  abéliennes  et  des 
fonctions  thêta  les  plus  générales  est  aujourd’hui  très 
avancée.  Les  premiers  travaux  sur  ce  sujet  sont  de  Jacobi, 
Gôpel,  Rosenhain  et  Hermite.  Weierstrass  d’une  part, 
Riemann  d’autre  part,  ont  présenté  une  théorie  générale. 
Récemment  M.  Humbert  a étudié  la  généralisation  du 
grand  problème  relatif  aux  transcendantes  elliptiques  : la 
multiplication  complexe.  M.  Appell  a développé  les  fonc- 
tions abéliennes  en  séries  trigonométriques.  L’on  doit 
citer,  sur  ces  fonctions,  les  travaux  de  Clebsch  et  Gordan, 
Briot,  MM.  Wirtinger  Prym,  Krazer... 
Les  transcendantes  abéliennes  servent  à la  représenta- 
tion paramétrique  des  surfaces  algébriques. 
Les  fonctions  elliptiques  donnent,  d’ailleurs,  la  repré- 
sentation paramétrique  des  courbes  algébriques  de  genre 
un  (il  est  bien  connu  que  les  courbes  de  genre  zéro,  uni- 
cursales,  sont  telles  que  les  coordonnées  soient  fonctions 
rationnelles  de  £). 
M.  Poincaré  a.  donné,  il  y a vingt  ans,  la  représen- 
tation paramétrique  des  courbes  algébriques  de  genre 
quelconque  par  les  fonctions  fuchsiennes. 
Ces  transcendantes  auxquelles  M.  Poincaré  a voulu 
donner  le  nom  de  M.  Fuchs  (géomètre  allemand,  auteur 
de  remarquables  et  très  nombreux  travaux  sur  les  équa- 
tions différentielles)  sont  parfois  appelées  « automorphes  » . 
Elles  possèdent  une  sorte  de  périodicité  qui  est  la  sui- 
vante : 
La  fonction  reste  invariable  par  la  substitution  linéaire  : 
a,  b.  c,  d réels 
ad  — bc  = I. 
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