LCEUVRE  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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Les  fonctions  elliptiques,  abéliennes,  fuchsiennes,  klei- 
néennes  (ce  sont  celles  où  l’on  peut,  dans  S,  prendre 
a,  b,  c,  d,  complexes)  jouent  dans  l’analyse  actuelle  un 
rôle  fondamental.  Les  unes  et  les  autres  sont  en  relation 
étroite  avec  l’arithmétique  et  l’algèbre  et  avec  la  théorie 
des  groupes. 
Nous  devons  revenir  ici  sur  le  théorème  de  M.  Picard 
relatif  aux  singularités  des  fonctions  qui  admettent,  entre 
elles,  une  relation  algébrique. 
Nous  disions  : « une  certaine  relation  ».  C’est  * rela- 
tion de  genre  supérieur  à un  » qu’il  faut  dire.  Le  théorème 
de  M . Picard  montre  que  lorsqu’on  veut  faire  une 
représentation  paramétrique  d’une  courbe  algébrique  de 
genre  supérieur  à un,  l’on  ne  peut  certainement  pas  y 
arriver  par  des  transcendantes  plus  simples  que  les  fonc- 
tions fuchsiennes. 
MM.  Hermite,  Hurwitz,  Dedekind  et  Klein  avaient 
étudié  la  fonction  modulaire  elliptique,  cas  particulier  de 
la  transcendante  fuchsienne  de  M.  Poincaré.  M.  Picard, 
par  ses  transcendantes  hyperfuchsiennes  et  hyperabélien- 
nes  (fonctions  de  deux  variables),  a très  remarquablement 
généralisé  les  transcendantes  fuchsiennes. 
Les  séries  hypergéométriques  de  deux  variables,  étudiées 
par  M.  Appell,  fournissent  des  exemples  de  fonctions 
hyperfuchsiennes.  L’étude  de  ces  fonctions  est  liée  à l’étude 
des  groupes  discontinus  contenus  dans  le  groupe  : 
('  v . a'n  + b'y  + c'  a"x  -f  b" y + c"\ 
\ ’ ” ’ ax  -f-  by  + c ’ ax  -)-  by  + c j 
Elle  est  liée  aussi  à l’étude  arithmétique  des  formes 
algébriques  non  définies  à trois  variables. 
Les  travaux  de  MM.  Picard  et  Humbert  montrent  le 
rôle  que  peuvent  jouer  ces  fonctions  dans  l’étude  des  sur- 
faces algébriques.  Il  est  intéressant  d’indiquer  que,  le  pre- 
mier, M.  Humbert  a donné  un  exemple  effectif  de  surface 
hyperabélienne. 
