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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
Fonctions  algébriques  d'une  variable 
Les  transcendantes  dont  nous  venons  d’esquisser  la 
physionomie  nous  ont  fait  côtoyer  la  théorie  des  fonctions 
algébriques  à laquelle  nous  devons  consacrer  quelques 
instants,  car  cette  théorie,  née  dans  ce  siècle,  en  est,  peut- 
être,  « la  création  la  plus  Unie  »,  comme  l’a  dit  M.  Hum- 
bert. Soit  une  courbe  algébrique  f (x,  y)  — o (I).  Autour 
d’un  point  ordinaire  x «,  l’on  déduit  de  (I)  une  valeur 
de  y. 
y série  de  puissances  de  [x-a]  (II)  ; 
y est  dit  fonction  algébrique  de  x. 
Mais  il  est  des  points  critiques  de  la  courbe  (1)  en  les- 
quels l’on  n’a  plus  un  développement  (II)  unique. 
Puiseux,  dans  un  mémoire  célèbre,  a étudié  les  diverses 
déterminations  de  y en  ces  points. 
Le  plan  de  Cauchy,  où  se  meut  la  variable  a?,  n’est  plus 
tel  qu’à  un  point  x corresponde  un  seul  point  y.  Il  appar- 
tenait à Riemann  de  faire  mouvoir  la  variable  x sur  un 
continuum  nouveau  tel  qu’à  un  point  de  ce  continuum 
corresponde  un  seul  point  y. 
Les  diverses  branches  de  y sont  séparées  par  Riemann 
qui  rend  uniforme  une  fonction  multiforme. 
x se  meut  sur  n feuillets,  si  la  courbe  (I)  est  de  degré 
n.  Ces  feuillets  plans  sont  superposés,  mais  la  commu- 
nication ne  peut  se  faire  de  l’un  à l’autre  que  suivant  cer- 
taines lignes  de  passage,  lignes  qui  réunissent  deux  points 
critiques. 
Tous  les  théorèmes  de  Cauchy  sur  les  fonctions  analy- 
tiques uniformes  s’appliqueront  donc  sur  la  surface  de 
Riemann  comme  sur  le  plan  simple  de  Cauchy.  L’on  a 
surtout  étudié  les  fonctions  rationnelles  R (x,  y)  attachées 
à une  courbe  algébrique  (I)  : ce  sont,  au  fond,  des  fonctions 
irrationnelles  en  x,  puisque  y est  une  irrationnelle  en  x. 
L’on  a classé  les  intégrales  de  ces  fonctions  : 
