l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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jR  (xy)  dx 
en  intégrales  abéliennes  de  Ie,  de  2e,  de  3e  espèce.  Et 
inversement  une  fonction  rationnelle  en  x et  y \y  étant 
irrationnel  en  x défini  par  (I)]  peut  s’exprimer  par  des 
intégrales  abéliennes  de  Ie  et  de  2e  espèce. 
Abel,  dès  1826,  avait  donné  un  théorème  fondamental 
relatif  à ces  intégrales.  Le  nombre  de  ces  intégrales  abé- 
liennes de  première  espèce  (ce  sont  celles  qui  restent  tou- 
jours finies)  est  égal  au  genre  p de  la  courbe  (I).  Ce  nombre 
dépend  du  degré  de  la  courbe,  du  nombre  et  de  l’ordre 
de  ses  points  singuliers.  D’ailleurs,  une  fonction  ration- 
nelle R (x,  y)  serait  une  constante  si  elle  ne  devenait  infinie 
en  aucun  point  x0  \y  étant  toujours  l’irrationnelle  définie 
par  (I)].  Il  y a plus  : cette  fonction  sera  en  x0  infinie 
d’ordre  p fi-  1 , si  x0  est  le  seul  pôle  ; ou  bien  il  y aura 
plusieurs  pôles  dont  la  somme  des  ordres  sera  p -f  1 . 
Weierstrass,  ne  voulant  pas  abandonner  le  domaine  de 
la  pure  Algèbre,  tant  que  l’on  s’y  peut  maintenir,  définit 
ainsi  le  genre  d’une  fonction  algébrique.  Ce  genre  est 
invariant  pour  toute  transformation  birationnelle. 
Par  une  telle  transformation  birationnelle  de  courbe  à 
courbe  l’on  peut  arriver  à une  courbe  n’ayant  comme  sin- 
gularités que  des  points  doubles  à tangentes  séparées. 
Par  une  transformation  birationnelle  de  plan  à plan 
(indépendante  de  f(xy)  dite  « transformation  Cremona  », 
l’on  peut  obtenir  une  courbe  à points  multiples  (d’ordre  > 2) 
dont  les  tangentes  soient  toutes  distinctes  (Théorème  de 
M.  Nôther).  C’est  sur  l’une  de  ces  formes  simples  que  l'on 
fait  l’étude  générale  des  courbes  de  genre  donné. 
Signalons  enfin  que  notre  surface  de  Riemann  a même 
connexité  qu’une  surface  à p trous,  et  nous  aurons  donné 
ainsi  une  idée  de  tous  les  points  de  vue  auxquels  peut  se 
placer  le  géomètre  dans  cette  étude  : point  de  vue  algé- 
brique ; point  de  vue  de  la  géométrie  des  courbes  ; 
point  de  vue  transcendant  ; enfin  point  de  vue  de 
