LŒUVRE  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
203 
de  seconde  espèce  qui  deviennent  infinies,  sur  la  surface, 
comme  : 
et  il  a montré  que  leur  nombre  est  limité  comme  celui  des 
intégrales  doubles  de  première  espèce. 
M.  Picard  a également  étudié  les  intégrales  de  diffé- 
rentielles totales  : 
et  il  a distingué  des  intégrales  de  ie,  de  2e  et  de  3e  espèce. 
Les  beaux  travaux  de  M.  Picard  sur  les  fonctions 
algébriques  sont  faits  surtout  au  point  de  vue  transcen- 
dant. Ceux  tle  MM.  Zeuthen,  Brill,  Nôther,  Cayley,  Castel- 
nuovo,  Enriques  sont  faits  plutôt  au  point  de  vue  de  la 
géométrie  analytique.  M.  Enriques  a trouvé  un  nouvel 
invariant,  le  bigenre , et  M.  Castelnuovo  a formulé  les  deux 
conditions  très  simples,  nécessaires  et  suffisantes  pour 
qu’une  surface  soit  unicursale.  M.  Humbert  a écrit  sur 
les  surfaces  plusieurs  mémoires  fondamentaux  dont  l’un 
sur  les  surfaces  hyperelliptiques  dont  le  genre  géométrique 
est  i et  le  genre  numérique  — 1 . 
Ici,  on  le  voit,  il  n’y  a plus,  comme  pour  les  courbes, 
un  seul  invariant,  le  genre,  il  en  est  plusieurs.  De  même 
si,  pour  les  courbes,  une  transformation  biuniforme  de 
courbe  à courbe  est  forcément  birationnelle,  au  contraire 
une  transformation  biuniforme  de  surface  à surface  peut 
très  bien  n’être  pas  birationnelle. 
L’on  aperçoit  combien  les  difficultés  se  multiplient 
lorsqu’on  passe  des  fonctions  d’une  variable  complexe  aux 
fonctions  de  deux  variables  complexes. 
Il  n’est  plus  ici  de  feuillets  riemanniens  et  les  considéra- 
tions d 'Analysis  situs,  dont  MM.  Picard  et  Simart  font 
f R ( x , y,  2-)  dx  -}-  R'  [x,  y , z)  dy 
