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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
usage  clans  leur  beau  Traité  en  cours  de  publication,  sont 
extrêmement  délicates. 
Malgré  de  très  grandes  difficultés,  cette  théorie  — nous 
espérons  l’avoir  montré  — est  déjà  très  avancée. 
La  théorie  des  fonctions  algébriques  est  fondamentale 
pour  l’étucle  de  certaines  classes  d’équations  différentielles. 
Le  problème  de  l’intégration  d’une  équation  différen- 
tielle est  le  suivant  : 
Soit  une  relation  donnée  : 
Les  géomètres  du  xvme  siècle  avaient  intégré  un  grand 
nombre  d’équations  différentielles.  Cauchy,  devant  l’ex- 
trême difficulté  du  problème  général,  a scindé  la  question 
et  sous  son  influence  l’on  cherche  d’abord  des  théorèmes 
d’existence,  c’est-à-dire  des  conditions  auxquelles  9 doit 
satisfaire  pour  que  l’on  puisse  avoir  une  véritable  fonc- 
tion y. 
Après  Cauchy,  MM.  Lipschitz  et  Picard  ont  donné  des 
théorèmes  d’existence  sous  des  conditions  plus  larges. 
Pour  des  formes  particulières  de  ©,  de  très  beaux  tra- 
vaux ont  été  écrits  depuis  quarante  ans  par  Briot  et  Bou- 
quet, MM.  Poincaré  et  Picard,  Bendixson  et  Horn... 
M.  Painlevé,  dans  ses  Leçons  de  Stockholm,  a fait  une 
étude  profonde  des  équations  différentielles  au  point  de  vue 
fonctionnel.  Sur  l’équation  (I)  (et  plus  généralement  sur 
un  système  d’équations  à plusieurs  fonctions  inconnues 
ÉQUATIONS  DIFFÉRENTIELLES 
(Il 
en  peut-on  déduire  une  relation  équivalente  : 
y = f (as)  ? 
(Il) 
