l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE.  2û5 
y,  z,...)  il  se  propose  de  reconnaître  les  singularités  de 
l’intégrale,  de  savoir  si  elle  est  uniforme,  algébrique... 
Trouver  cela,  c’est  d’ailleurs  connaître  suffisamment 
l’allure  de  l’intégrale  cherchée,  c’est,  en  somme,  intégrer 
l’équation. 
Pour  les  équations  linéaires  (; y et  ses  dérivées  n’entrent 
qu’au  1er  degré),  l’on  trouve  immédiatement  les  points  sin- 
guliers de  l’intégrale,  et  la  forme  de  l’intégrale  autour  de 
ces  points.  Pour  les  équations  du  1er  orr]re  : MM.  Fuchs, 
Poincaré,  Darboux,  Autonne,  Thomé...,  avaient  précédé 
M.  Painlevé  par  de  mémorables  travaux.  Mais  si  l’on 
passe  aux  équations  d’ordre  supérieur  à un,  M.  Picard 
avait  montré,  le  premier,  que  les  points  singuliers  essen- 
tiels de  y peuvent  varier  avec  les  constantes  arbitraires 
qu’introduit  l’intégration.  Au  point  de  vue  des  notions 
essentielles  de  l’Analyse,  il  y a là  un  fait  capital. 
Ayant  reconnu  ce  fait,  M.  Painlevé  a déterminé  récem- 
ment toutes  les  équations  du  2e  ordre  à points  critiques 
fixes,  indépendants  des  constantes  arbitraires,  et  il  a 
entrepris  la  même  recherche  pour  les  équations  du  3e  ordre. 
Etudiant  ainsi  les  équations  différentielles  au  point  de 
vue  fonctionnel,  M.  Painlevé  a découvert  des  transcen- 
dantes nouvelles , fort  intéressantes,  dont  l’étude  détaillée 
n’a  pas  encore  été  publiée. 
Au  point  de  vue  de  la  recherche  d’une  intégration  effec- 
tive, nous  devons  signaler  la  méthode  du  multiplicateur  de 
Jacobi  et  les  méthodes  de  Sophus  Lie,  fondées  sur  la 
théorie  des  groupes  continus.  Il  est  à remarquer  que  la 
recherche  d’un  multiplicateur,  telle  qu’Euler  la  proposait 
au  xvme  siècle  c’est,  au  fond,  la  recherche  d’une  trans- 
formation infinitésimale  de  Lie  ; l’on  sait,  d’ailleurs, 
combien  les  travaux  de  Lie  ont  mis  d’unité,  de  cohésion, 
dans  ces  théories. 
L’on  a écrit,  sur  les  seules  équations  linéaires,  un  nom- 
bre immense  de  mémoires.  Nous  ne  pouvons  ici  donner 
