L’ŒUVRE  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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D’une  relation  : 
il  faut,  si  possible,  tirer  une  relation  : 
(II) 
u = f[x,  y). 
Dès  le  début  du  xixe  siècle,  Cauchy  et  Jacobi  ont 
ramené  aux  équations  différentielles  les  équations  (I)  du 
ier  ordre,  celles  où  n’entrent  que  les  dérivées  premières 
de  u.  Pour  le  problème  le  plus  général,  Cauchy  se  proposa, 
encore  ici,  d’étudier,  avant  tout,  les  conditions  d’existence 
de  u.  Son  théorème  fondamental  est  relatif  aux  fonctions 
7 analytiques  : 
On  peut  trouver  un  développement  de  u en  série  de 
x et  de  y,  — - u et  ses  dérivées  premières  ayant,  sur  une 
courbe  gauche  donnée,  des  valeurs  données  (on  pourrait 
avoir  n variables  x,  y,...  z). 
Le  théorème  de  Cauchy  a été  repris  par  Mme  de  Kowa- 
leska  et  par  M.  Darboux.  Dans  sa  thèse  M.  H.  Poincaré 
a étudié  les  cas  où  le  théorème  devient  inapplicable. 
L’exemple  très  simple  de  l’équation 
(F  et  G dénotant  des  fonctions  arbitraires),  montre  assez 
quelle  indétermination  subsiste  pour  l’intégrale,  l’équation 
étant  donnée. 
Au  point  de  vue  fonctionnel,  dans  le  domaine  complexe, 
l’on  cherche,  en  général,  à mettre  en  évidence  tout  cet 
arbitraire. 
La  littérature,  ici  encore,  est  d’une  richesse  infinie. 
Nous  pouvons  citer  les  ouvrages  classiques  d’Imchenetzky, 
Sx  oy 
dont  l’intégrale  est  : 
u = F (x)  -j-  G (y) 
