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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
de  M.  Mansion  et  de  M.  Goursat,  les  travaux  de  Monge, 
Ampère,  Laplace,  MM.  Moutard,  Darboux,  Mayer, 
Sophus  Lie,  von  Weber,  Riquier,  Delassus,  Beudon, 
Cosserat,  Kônig,  Backlund,  Hamburger,  Sonine. 
Nous  retrouvons  ici  encore  Lie  avec  ses  transformations 
dites  de  contact  qu  Ampère,  au  commencement  du  siècle, 
avait  employées  dans  un  cas  particulier. 
Les  travaux  de  Lie  ont  des  applications  remarquables 
dans  la  théorie  générale  des  surfaces. 
Tandis  que  se  développait  la  théorie  analytique  des 
équations  aux  dérivées  partielles,  les  analystes  qui  avaient 
en  vue  plus  spécialement  la  physique,  Riemann  lui-même, 
faisaient  avancer  la  théorie  de  ces  équations  au  point  de 
vue  réel  avec  des  conditions  aux  limites.  La  plus  célèbre 
des  équations  que  l'on  ait  ainsi  étudiées  est  l'équation  de 
Laplace  : 
(E) 
S2U  i à'2U 
Sx2  cy 2 
u ayant  des  valeurs  données  sur  une  courbe  fermée  du 
plan  (æy).  Cette  étude,  capitale  en  mécanique,  en  élec- 
tricité, en  thermique,  porte  le  nom  de  « Problème  de 
Dirichlet  ».  Les  questions  de  ce  genre  sont  d’une  extrême 
importance.  Le  point  de  vue  analytique  ne  permet  aucune 
distinction  entre  l’équation  (E)  et  l’équation  (H). 
Or,  au  point  de  vue  réel  ces  équations,  de  type  ellip- 
tique et  hyperbolique,  présentent  les  différences  les  plus 
essentielles,  si  nous  prenons  les  équations  plus  générales, 
(E),  II),  avec  un  second  membre. 
M.  Picard  les  a complètement  intégrées  par  sa  belle 
méthode  des  approximations  successives. 
Pour  les  équations  (E)  on  peut  donner  les  valeurs  de  u 
sur  une  courbe  fermée  du  plan. 
Pour  les  équations  (H)*  on  peut  donner  u et  l’une  de 
