LŒUVRE  MATHÉMATIQUE  1)U  XIXe  SIÈCLE. 
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ses  dérivées,  mais  seulement  sur  un  certain  arc  de  courbe. 
Les  belles  méthodes  de  Laplace,  de  M.  Darboux,  de 
M.  Goursat  permettent  d’atteindre  des  catégories  plus 
générales  d’équations,  mais  non  point  d’obtenir  des  résul- 
tats aussi  précis,  aussi  achevés. 
Nous  ne  saurions  oublier,  dans  cet  ordre  d’idées,  les 
travaux  de  M.  Schwartz,  la  célèbre  méthode  du  balayage 
de  M.  Poincaré  pour  la  résolution  du  problème  de 
Dirichlet  dans  le  plan  ou  dans  l’espace,  la  thèse  de 
M.  le  Roy  sur  les  équations  de  la  chaleur,  les  mémoires 
de  M.  Vito  Volterra  sur  les  équations  de  l’élasticité,  les 
travaux  de  MM.  Liapounoff,  Horn,  Steckloff,  Harnack, 
Almansi,  Bianchi. 
Il  se  présente,  pour  les  équations  aux  dérivées  par- 
tielles, au  point  de  vue  fonctionnel , ou  au  point  de  vue 
réel , la  même  difficulté  que  pour  les  fonctions  algébriques. 
Les  complications  se  multiplient  lorsque  l’on  passe  de 
deux  variables  à trois  variables.  Certaines  lignes,  dites 
« caractéristiques  *,  jouent  un  rôle  fondamental  dans  les 
équations  aux  dérivées  partielles  à deux  variables  indé- 
pendantes, rôle  qui  a été  étudié  par  MM.  Picard  et 
Goursat. 
Si  l’on  prend  trois  variables  indépendantes,  il  résulte 
des  travaux  de  M.  Beudon,  que  la  généralisation  des 
caractéristiques  entraîne  les  plus  grosses  difficultés. 
En  général,  pour  avoir  des  surfaces  caractéristiques,  il 
faut  connaître  une  intégrale  particulière  de  l’équation. 
Après  avoir  insisté,  comme  l’a  fait  M.  Picard,  sur  tout 
l’intérêt  que  présentent  les  équations  aux  dérivées  par- 
tielles au  point  de  vue  réel,  nous  terminerons  par  quelques 
indications  sur  un  beau  travail  de  M.  Drach.  Remarquant 
que  les  transcendantes  fondamentales  de  l’Analyse  : log  x , 
ex,  sin  x , p(x),  [x  étant  réel  ou  complexe]  vérifient  des 
équations  différentielles  simples,  M.  Drach  a voulu  regar- 
der ces  équations  comme  étant  essentiellement  la  définition 
des  transcendantes,  d’où  une  classification  des  transcen- 
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