l’œuvre  MATHÉMATIQUE  DU  XIXe  SIÈCLE. 
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Propriétés  projectives . Transformations  générales 
Poncelet  considère  un  être  géométrique  au  point  de 
vue  projectif,  c’est-à-dire  qu’il  regarde  comme  étant  au 
fond  les  mêmes,  dans  leur  essence,  toutes  les  figures  qui 
sont  la  perspective  conique  d’une  figure. 
Une  perspective  d’une  figure,  c’est  une  transformation 
particulière  de  cette  figure.  Il  en  est  bien  d’autres,  qu’ont 
étudiées  MM.  Laguerre,  Halphen,  Darboux,  Plticker, 
Cayley,  Cremona... 
Il  appartenait  à M.  Lie  d’étudier  les  transformations, 
en  général,  avec  leurs  groupes  et  leurs  invariants.  De 
cette  théorie  générale  se  tirent  les  plus  belles  applications 
géométriques. 
M.  Lie  a transformé  la  « Géométrie  des  droites  » de 
Plücker  en  sa  « Géométrie  des  sphères  « . A deux  droites 
qui  se  coupent  il  fait  correspondre  deux  sphères  tangentes. 
Une  surface  devient,  pour  Lie,  l’ensemble  de  toutes  les 
sphères  qui  la  touchent,  au  lieu  d’être  un  ensemble  de 
points.  La  transformation  d’un  système  de  droites  en  un 
système  de  sphères  fait  correspondre  à une  surface  une 
autre  surface  : les  lignes  de  courbure  de  l’une  correspon- 
dent aux  lignes  asymptotiques  de  l’autre. 
Les  éléments  de  l’espace,  en  apparence  les  plus  diffé- 
rents, se  transforment  les  uns  en  les  autres  et  tout  théo- 
rème nouveau,  grâce  aux  transformations,  a,  pour  ainsi 
dire,  d’innombrables  « échos  « en  des  langues  très 
diverses. 
Coordonnées  curvilignes 
D’un  être  géométrique  l’on  déduit  une  infinité  d’autres 
êtres  avec  des  propriétés  corrélatives.  C’est  là  un  grand 
horizon  ouvert. 
Mais  il  faut  aussi  que  l’on  puisse  étudier  à fond  un  être 
