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H h VUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
géométrique  donné.  Gauss  a donné  pour  cela  un  instru- 
ment incomparable  : « la  représentation  paramétrique.  » 
Nous  en  avons  vu  des  exemples,  en  étudiant  les  courbes 
et  les  surfaces  algébriques.  Soit,  en  général,  une  surface 
quelconque  : 
(1)  F (x,  y,  z)  — - o ; 
on  considère  son  équation  comme  équivalente  au  système  : 
[ œ = cp,  (u,  v) 
et  l’on  obtient,  d’une  manière  très  symétrique  en  u et  v,  les 
équations  des  lignes  de  courbure  de  la  surface,  des  lignes 
asymptotiques,  des  lignes  géodésiques,  l’équation  différen- 
tielle des  systèmes  conjugués. 
Ces  systèmes  sont  très  importants.  Al.  Kœnigs  a donné, 
à leur  sujet,  un  très  beau  théorème  de  pure  géométrie  et 
les  résultats  de  ce  genre  montrent  bien  que  le  géomètre 
proprement  dit  ne  saurait  être  un  pur  analyste  et  que  la 
Géométrie  est  bien  une  science  autonome  dans  l’ensemble 
des  mathématiques. 
Depuis  le  célèbre  Mémoire  de  Gauss  (1828),  les  coor- 
données curvilignes  ont  été  très  employées  et  l’étude  des 
surfaces  a fait  de  très  grands  et  d'immenses  progrès. 
Si  l’on  part,  non  plus  du  système  II,  mais  de  : 
l’on  a,  non  plus  une  surface,  mais  une  famille  de  surfaces  : 
(111)  Fx  [pcyz)  = u , F2  (ocyz)  = v,  F;,  (xyz)  = te. 
Cette  famille  est  particulièrement  et  remarquablement 
intéressante,  lorsque  les  surfaces  F,  F2  F3  se  coupent  à 
(H) 
(IV) 
x = cp  ( u , v,  w) 
y = <p*  (**,  v,  10) 
Z = (p3  ( u , v,  w) 
