BIBLIOGRAPHIE. 
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les  discussions  mathématiques  ou  historiques  relatives  à la  méta- 
géométrie. 
Dans  nos  observations  critiques,  nous  suivrons  l’ordre  des 
divers  chapitres  du  livre,  dont  nous  indiquerons  sommairement 
le  contenu. 
Introduction.  Définition  du  problème  par  ses  relations  avec 
la  logique,  la  psychologie  et  les  mathématiques  (pp.  1-8).  L’auteur 
essaie  de  préciser  le  sens  et  la  portée  des  mots  à priori  et 
subjectif  qu’il  emploie  dans  la  suite  et  indique  le  plan  de  son 
ouvrage. 
Chapitre  I.  Histoire  sommaire  de  la  métagéométrie  (pp.  9-68). 
L’auteur  divise  cette  histoire  en  trois  périodes,  synthétique, 
métrique  et  projective.  Cette  division  ne  nous  paraît  pas  la  meil- 
leure. Selon  nous,  ce  n’est  pas  en  trois  périodes,  mais  en  trois 
groupes  de  recherches  qu’il  faut  partager  les  travaux  relatifs  à 
la  métagéométrie  et  il  faut  les  caractériser,  comme  l’a  fait 
M.  Bonola,  dans  sa  belle  Bibliographie  (Bollettino  de  M.  Loria, 
1899,  1900),  au  moyen  des  désignations  suivantes  : recherches 
élémentaires,  recherches  métrico-différenlielles,  recherches  pro- 
jectives. Dans  les  premières,  qui  se  continuent  jusqu’à  l’époque 
présente,  le  point  de  départ  est  élémentaire,  mais  on  se  sert  au 
besoin,  de  la  plus  savante  analyse  pour  étudier  le  contenu  des 
définitions  fondamentales  ; dans  les  autres,  c’est  la  théorie  ana- 
lytique de  la  courbure  et  celle  des  groupes  de  transformations 
ou  la  géométrie  projective  de  von  Staudt  qui  est  la  base  de 
toutes  les  recherches. 
A.  Recherches  élémentaires.  L’auteur  s’occupe  des  travaux  de 
Legendre,  de  Gauss,  de  Lobatchefsky  et  de  Bolyai  ; mais,  selon 
nous,  il  n’en  donne  pas  une  idée  exacte;  ensuite,  il  11e  dit  presque 
rien  des  vrais  précurseurs  et  des  continuateurs  de  Lobatchefsky 
et  de  Bolyai.  Les  précurseurs  sont  Sacclieri  (1667-1738)  et  Lam- 
bert (1728-1777)  : le  premier  a prouvé  que,  si  l’on  rejette  le  pos- 
tulat des  trois  droites  ou  5e  postulat  d’Euclide  (1),  deux  droites 
d’un  plan  se  rencontrent,  ou  sont  asymptotes,  ou  enfin  ont  une 
perpendiculaire  commune  ; le  second  a montré  que,  dans  la 
même  hypothèse,  l’aire  d’un  triangle  est  proportionnelle  à son 
déficit  angulaire,  c’est-à-dire  à la  différence  entre  deux  droits  et 
(1)  Deux  droites  d’un  plan  qui  font  d’un  même  côté,  avec  une  troi- 
sième, deux  angles  intérieurs  dont  la  somme  est  inférieure  à deux  droits 
se  rencontrent  de  ce  côté.  — On  peut  appeler  postulat  des  deux  droites, 
le  postulat  d’Euclide  : deux  droites  ne  peuvent  enclore  un  espace. 
