BIBLIOGRAPHIE. 
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publiée  en  italien  par  Battaglini  en  1867.  Ce  sont  ces  deux  livres 
et  non  (comme  l’auteur  le  dit,  p.  14)  l'article  de  Lobatebefsky, 
publié  en  français,  dans  le  Jourxal  de  Crelle  (1887),  qui  ont 
été  le  point  de  départ  des  recherches  de  Beltrami.  M.  Russell 
ne  dit  donc  rien  des  recherches  de  Lobatebefsky  sur  les  notions 
fondamentales  de  plan  et  de  droite , contenues  dans  la  Pangéo- 
métrie  et  ailleurs,  ni  de  celles  qui  se  rapportent  à la  détermina- 
tion des  longueurs,  des  aires  et  des  volumes;  rien  non  plus  du 
beau  théorème  : “ La  géométrie  des  horicycles  sur  les  hori- 
sphères  est  euclidienne.  „ Pour  Bolyai,  l’auteur  semble  ne  le 
connaître  que  par  l’intermédiaire  du  livre  de  M.  Frischauf;  il  ne 
signale  pas  la  forme  spéciale  des  formules  du  géomètre  hon- 
grois : dans  celles-ci,  la  constante  spatiale  est  écrite  explicite- 
ment, tandis  que  Lobatebefsky  la  prend  pour  unité,  ce  qui  n’est 
pas  sans  importance,  comme  l'a  remarqué  M.  Lechalas.  Gauss, 
comme  on  le  sait  maintenant,  appréciait  hautement  le  géomètre 
hongrois;  en  recevant  le  célèbre  Appendix  où  J.  Bolyai  exposait 
en  quelques  pages  toute  la  substance  de  la  géométrie  non  eucli- 
dienne, il  écrivit  à Gerling  : Je  tiens  ce  jeune  géomètre  Bolyai 
pour  un  génie  de  premier  ordre. 
M.  Russell  termine  ici  ce  qu’il  appelle  l'histoire  de  la  première 
période.  “ Naturellement,  dit-il.  il  restait  possible  que  des  déve- 
loppements ultérieurs  révélassent  des  contradictions  latentes 
dans  ces  systèmes.  „ 
Non,  cela  n’était  pas  possible  et  cette  idée  ne  pouvait  venir  à 
l'esprit  d’aucun  géomètre  ayant  étudié  le  mémoire  de  Lobat- 
chefsky  de  1S37,  ou  les  écrits  des  continuateurs  de  Lobatehefsky 
et  de  Bolyai.  Malheureusement  l’historique  de  M.  Russell  est  ici 
très  incomplet.  Selon  nous,  il  eût  fallu  parler  au  moins  des  géo- 
mètres suivants  : Riemann,  dont  le  mémoire  publié  en  1867 
contient,  à côté  de  ses  célèbres  recherches  métrico-différentielles, 
le  principe  fondamental  de  la  géométrie  dite  riemannienne,  savoir 
que  le  postulat  des  deux  droites  n’est  pas  impliqué  dans  la  défi- 
nition de  la  droite;  M.  Flye  de  Sainte-Marie,  dont  les  études 
interprétées  par  M.  De  Tilly,  ont  permis  de  prouver  que  le  postu- 
lat des  trois  droites  ne  peut  être  démontré  d’aucune  manière  ; 
Schering,  à qui  l'on  doit  la  relation  entre  les  distances  de 
{n  + 2)  points  dans  un  espace  non  euclidien  à n dimensions  ; 
M.  De  Tilly,  qui  retrouve  la  géométrie  lobatchefskienne  par  la 
cinématique  (186S);  qui  donne  en  1878  un  exposé  synthétique 
et  analytique  des  trois  géométries,  et  qui  en  1892  montre  com- 
ment elles  sont  contenues  implicitement  dans  les  relations  de 
