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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
avec  plaisir  que  nous  sommes  presque  toujours  d’accord  avec 
M.  Russell.  Mais  nous  trouvons  étrange  qu’il  consacre  tant  de 
pages  à Lotze,  qui  évidemment  ne  savait  pas  la  géométrie 
élémentaire.  Nous  ne  croyons  pas  que  le  postulat  de  Delbœuf 
(p.  141,  note),  renouvelé  de  Wallis,  soit  la  meilleure  base  de  la 
théorie  euclidienne  des  parallèles;  il  contient  trop,  comme 
Saccheri  l’a  prouvé.  A la  page  143,  M.  Russell  dit  que  la  France 
(à  laquelle  il  annexe  la  Belgique  dans  la  note,  pp.  146-148)  n'a 
guère  fait  avancer  la  philosophie  de  la  géométrie.  Franchement, 
cela  nous  semble  injuste  pour  MM.  De  Tilly,  Lechalas,  Poincaré, 
Gérard,  Barbarin. 
Chapitre  III.  A.  Les  axiomes  cle  la  géométrie  projective 
(pp.  150-186).  B.  Les  axiomes  delà  géométrie  métrique  (pp.  186- 
224).  Chapitre  IV.  Conséquences  philosophiques  (pp.  225-260). 
Nous  sommes  forcés  de  renvoyer  de  nouveau  nos  lecteurs  aux 
analyses  de  MM.  Lechalas  et  Conturat  pour  la  partie  philoso- 
phique de  ces  deux  chapitres.  Voici  quelques  notes  critiques. 
1°  Dans  la  première  partie  du  chapitre  III,  M.  Russell  donne 
un  aperçu  des  principes  fondamentaux  de  la  géométrie  projec- 
tive, rendue  indépendante  de  la  géométrie  métrique.  Nous  ne 
croyons  pas  qu’elle  en  soit  vraiment  indépendante,  d’abord 
parce  qu  elle  se  base  au  fond  sur  les  notions  d’espace  à trois 
dimensions,  de  plan,  de  droite,  lesquelles  impliquent,  pensons- 
nous  avec  Cauchy,  la  notion  métrico-géométrique  par  excellence, 
celle  de  distance  (1).  Mais  la  dépendance  forcée  des  deux  géo- 
métries se  manifeste  sous  une  autre  forme.  La  célèbre  construction 
du  conjugué  harmonique  d’un  point  au  moyen  du  quadrilatère, 
due  à von  Staudt  (pp.  159-162)  repose  sur  la  propriété  fonda- 
mentale de  deux  triangles  perspectifs.  Or,  la  démonstration  de 
cette  propriété  (pp.  160-161)  est  incomplète  et  n’est  suffisante 
qu’en  géométrie  riemannienne  ; en  géométrie  euclidienne,  on  doit 
considérer  de  plus  le  cas  où  les  plans  ARC,  A B C sont  paral- 
lèles et  celui  où  le  point  O est  à l'infini  ; en  géométrie  lobatchef- 
skienne,  les  deux  cas  où  les  plans  ABC,  ABC  sont  asympto- 
tiques ou  divergents,  et  où  O est  à l'infini  ou  imaginaire.  Du 
moment  que  l’on  est  forcé  de  faire  ces  trois  hypothèses,  on 
distingue  trois  géométries,  contrairement  à ce  que  dit  M.  Russell 
(1)  En  géométrie  projective  pure,  la  droite  est  la  relation  qualitative 
de  deux  points,  le  plan  la  relation  qualitative  de  trois  points.  Deux 
relations  qualitatives  de  trois  points  ont  une  relation  qualitative  de 
deux  points  commune  etc.,  etc. 
