BIBLIOGRAPHIE. 
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d’indiquer  les  deux  points  de  vue  sous  lesquels  elles  peuvent 
être  utilisées  : 
1°  A un  point  de  vue  pratique  en  quelque  sorte,  celui  du 
calcul  approximatif  au  moyen  de  fonctions  rationnelles,  qui 
a fait  naître  la  première  notion  de  séries,  on  conçoit  qu'une  série 
dont  la  somme  n’a  pas  de  limite  lorsqu’on  fait  croître  indéfini- 
ment le  nombre  de  ses  termes,  puisse,  lorsqu’on  se  borne  à 
en  prendre  un  nombre  déterminé,  fournir  le  résultat  qu’on  se 
propose  de  calculer  avec  une  approximation  suffisante  pour 
l'objet  que  l’on  a en  vue.  La  série  de  Stirling  pour  le  calcul 
de  la  fonction  E(z)  en  est  un  exemple  frappant.  Et  l’on  sait 
aujourd’hui,  grâce  aux  admirables  travaux  de  M.  Poincaré, 
que  les  séries  employées  jusqu’à  ce  jour  par  les  astronomes 
pour  le  calcul  de  la  position  des  corps  du  système  solaire,  sont 
dans  le  même  cas. 
2°  A un  point  de  vue  purement  théorique  on  peut,  dans 
certains  cas,  faire  correspondre  à certaines  fonctions  des  séries 
divergentes  qui,  au  point  de  vue  formel,  peuvent  leur  être 
substituées  dans  les  calculs,  de  telle  sorte  que  les  démonstra- 
tions fondées  sur  de  tels  calculs  soient  encore  valables  pour  la 
fonction  correspondante. 
C’est  cette  seconde  manière  d’envisager  les  séries  divergentes 
qui  eût  surtout  choqué  les  idées  des  mathématiciens,  il  y a 
vingt-cinq  ans,  bien  qu’elle  ait  été  entrevue  jadis  et  par  Abel 
et  par  Cauchy,  comme  cela  résulte  de  certains  passages  de 
leurs  œuvres.  C’est  elle  surtout  que  les  importantes  recherches 
de  M.  Borel  ont  contribué  à fonder  définitivement. 
En  raison  de  la  nouveauté  du  sujet  pour  le  grand  public 
mathématique,  l’auteur,  par  une  heureuse  inspiration,  a cru 
devoir,  dans  une  introduction  de  vingt  pages,  en  fixer  l'histo- 
rique de  façon  à indiquer  nettement  la  genèse  des  idées 
développées  dans  le  corps  de  l’ouvrage.  Cette  introduction, 
qu’éclairent  un  assez  grand  nombre  d’exemples  frappants,  ouvre 
pour  le  lecteur  les  horizons  dont  les  chapitres  subséquents 
permettent  de  faire  une  exploration  de  détail. 
Les  séries  les  plus  générales  qu’embrasse  le  premier  point 
de  vue  signalé  plus  haut  sont  celles  que  M.  Poincaré,  à qui 
en  est  due  la  théorie,  a appelées  les  séries  asymptotiques.  C’est 
à elles  qu’est  consacré  le  Chapitre  I. 
La  première  notion  de  ces  séries  est  due,  dans  un  cas  particu- 
lier, à Cauchy  qui  les  avait  entrevues  à l’occasion  de  la  série  de 
Stirling  ; mais  pour  fort  important  que  soit  le  cas  particulier 
