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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
envisagé  par  l’illustre  géomètre,  il  n’eût  pas  sulïi  à l’édification 
d'une  théorie  générale  sans  les  travaux,  fondamentaux  ici 
comme  ailleurs,  de  M.  Poincaré.  Il  est  juste  d’ajouter  qu’en 
même  temps  que  M.  Poincaré,  un  autre  géomètre  de  grand 
talent,  trop  tôt  enlevé  à la  science,  Slieltjes  avait  eu  l'idée 
d’aborder  la  même  théorie  et  qu’ii  y a apporté  une  contribution 
intéressante,  mise  tout  d’abord  en  évidence  par  l’auteur.  Mais 
c’est  surtout  à la  théorie,  d’une  plus  haute  portée,  de  M.  Poin- 
caré que  s’attache  M.  Borel,  en  insistant  sur  ses  applications  si 
fécondes  aux  équations  différentielles,  étudiées  en  ces  derniers 
temps  par  M.  Kneser  et  par  M.  Horn.  Les  développements  four- 
nis par  l’auteur,  à l'occasion  d'une  classe  d’équations  du  second 
ordre  dont  les  coefficients  ne  sont  pas  des  polynômes,  pourraient 
servir  de  guide  à de  jeunes  géomètres  tentés  de  diriger  leurs 
efforts  vers  ce  champ  fécond  de  recherches,  relativement  encore 
peu  exploré. 
La  correspondance  entre  certaines  séries  divergentes  et 
fonctions  analytiques  bien  déterminées  se  rencontre  pour  la 
première  fois  dans  une  Note  de  Laguerre,  témoignant  de  l'ordi- 
naire ingéniosité  de  cet  éminent  géomètre,  où  le  développement 
divergent  en  série  de  certaine  intégrale  définie  est  transformé 
en  un  développement  convergent  en  fraction  continue.  Ce 
résultat  isolé  de  Laguerre  rentre  dans  une  théorie  générale  du 
plus  haut  intérêt  due  à Stieltjes,  que  M.  Borel,  en  la  limitant  à 
l’objet  qu'il  a en  vue  dans  son  ouvrage,  résume  avec  beaucoup 
d'habileté  dans  le  Chapitre  IL  à la  suite  de  quelques  généralités 
sur  les  fractions  continues  algébriques  empruntées  à M.  Padé. 
M.  Borel  est  d’ailleurs  parvenu  lui-même  à une  importante 
généralisation  des  résultats  fondamentaux  de  Stieltjes  qui  rend 
notamment  possible  leur  application  à la  théorie  des  équations 
différentielles. 
Mais  c’est  surtout  dans  le  Chapitre  III  qu’apparaissent  les 
recherches  personnelles,  très  originales  et  très  profondes,  de 
l’auteur.  11  rattache  leur  point  de  départ  à une  ingénieuse 
remarque  de  M,  Cesâro,  relative  à la  multiplication  des  séries. 
Lorsque  deux  séries,  dont  on  fait  le  produit  suivant  la  règle  de 
Cauchy,  ne  convergent  absolument  ni  l'une  ni  l'autre,  il  se  peut 
que  la  série  obtenue  soit  divergente  ; mais  si.  dans  ce  cas,  la 
moyenne  - - ' s‘  — (s,  représentant  la  somme  des  n pre- 
miers termes)  tend  vers  une  limite,  cette  limite  est,  ainsi  que  l’a 
démontré  M.  Cesaro,  égale  au  produit  des  sommes  des  deux 
séries  facteurs. 
