BIBLIOGRAPHIE. 
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En  affectant  les  sommes  s,,  de  certains  poids,  dépendant  de  n 
et  dn  nombre  des  sommes  s„  entrant  dans  chaque  moyenne  par- 
tielle, M.  Borel  a construit  sur  cette  notion  généralisée  une 
théorie  du  plus  haut  intérêt  qui  élargit  dans  de  vastes  propor- 
tions le  cercle  de  nos  connaissances  relatives  aux  séries  diver- 
gentes utilisables  dans  les  investigations  analytiques.  Les  séries 
qu’embrasse  sa  méthode  sont  appelées  par  lui  les  séries  som- 
mables. L’introduction,  dans  la  définition  des  poids  qui  servent 
au  calcul  des  moyennes,  d’une  fonction  entière  arbitraire,  qui 
intervient  par  les  coefficients  de  son  développement  taylorien, 
donne  à la  méthode  une  grande  souplesse.  Toutefois,  le  cas  de 
beaucoup  le  plus  important  est  celui  où  Ton  prend  pour  cette 
fonction  la  fonction  exponentielle.  M.  Borel  donne  les  raisons 
très  profondes  de  cette  importance  spéciale  et  se  borne,  sous  le 
nom  de  méthode  de  sommation  exponentielle,  à développer  sa 
théorie  avec  ce  choix  particulier  de  la  fonction  de  définition. 
Cette  théorie,  très  savante  et  très  délicate,  exige,  pour  être 
entendue,  l’exposé  détaillé  de  l’auteur.  On  ne  saurait  guère,  sans 
faire  appel  au  symbole  mathématique,  en  donner  une  idée  un  peu 
nette.  Qu’il  nous  suffise  ici  de  dire  que  l’auteur  établit  pleine- 
ment la  parfaite  équivalence,  au  point  de  vue  des  transformations 
analytiques,  de  ses  séries  sommables  et  des  fonctions  que  sa 
méthode  de  sommation  leur  fait  correspondre.  Cette  équivalence 
rend  légitime,  sous  le  bénéfice  des  définitions  posées,  l’emploi 
de  ces  séries  divergentes  au  même  titre  que  des  séries  conver- 
gentes. il  est  inutile  d’insister  sur  la  portée  d’un  tel  progrès. 
En  particulier,  si  une  série  (divergente)  absolument  sommable 
vérifie  formellement  une  équation  différentielle  algébrique  par 
rapport  à la  fonction  et  à ses  dérivées,  analytique  par  rapport  à 
la  variable,  la  fonction  analytique  définie  par  cette  série  est  une 
intégrale  de  cette  équation.  On  conçoit  à priori  quelle  peut  être 
la  fécondité  d’une  telle  proposition  dont  l’auteur  développe  une 
curieuse  application. 
A la  fin  du  chapitre  M.  Borel  signale  comme  très  probable 
l’identité  des  résultats  fournis  par  sa  méthode  de  sommation  et 
par  celle  de  Stieltjes  dans  le  cas  des  séries  divergentes  offrant 
les  caractères  requis  pour  l’application  de  Tune  et  l’autre 
méthode  ; la  démonstration  rigoureuse  de  cette  identité  serait 
un  joli  sujet  de  recherche. 
Bien  qu’ayant,  pour  en  mieux  faire  saisir  toute  l’originalité, 
développé  sa  méthode  sans  y faire  intervenir  la  notion  de  pro- 
longement analytique,  M.  Borel  n’a  pas  manqué  de  remarquer 
