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REVUE  DES  QUESTIONS  SCIENTIFIQUES. 
les  relations  intéressantes  qui  lient  cette  notion  à celle  des  séries 
sommables.  Aussi  a-t-il  fait  de  l’étude  de  ces  relations  l’objet  du 
chapitre  IV. 
La  question  qui  se  pose  ici  est  celle  qui  consiste  à étudier,  au 
moyeu  d’une  méthode  de  sommation  applicable  aux  séries  diver- 
gentes, un  développement  de  Taylor  en  dehors  de  son  cercle  de 
convergence.  L’auteur  fait  d’abord  voir  quelle  est,  à ce  point  de 
vue,  la  portée  de  la  méthode  de  sommation  étudiée  au  chapitre 
précédent  et  il  parvient  ainsi  à définir  un  polygone  de  sommabi- 
lité  qui.  fait  bien  digne  de  remarque,  dépasse  le  cercle  de  con- 
vergence en  tout  point  non  singulier.  Puis,  grâce  à une  analyse 
pénétrante,  il  montre  comment,  en  généralisant  convenablement 
cette  méthode  de  sommation,  on  peut  étendre  la  région  de  som- 
mabilité  de  façon  à atteindre  un  point  quelconque  du  plan. 
Une  des  applications  de  cette  théorie  qui  se  présentent  le  plus 
naturellement  est  la  recherche  des  points  singuliers  d’une  fonc- 
tion définie  par  son  développement  de  Taylor.  Cette  question, 
très  difficile,  est  traitée  par  l'auteur  dans  un  dernier  paragraphe 
du  chapitre,  où  il  joint  à ses  propres  résultats  ceux,  fort  intéres- 
sants aussi,  qui  sont  dus  à M.  Leau  et  à M.  Le  Roy. 
La  théorie  des  séries  sommables  permettant  d’étendre  le 
domaine  d’existence  d’une  fonction  définie  par  son  développe- 
ment taylorien  au  delà  de  son  cercle  de  convergence,  la  question 
se  trouve  ainsi  amenée  de  donner  à ce  domaine  la  plus  grande 
extension  possible.  On  sait  que,  grâce  à certaines  séries  de  poly- 
nômes, M.  Mittag-Leffler  est  parvenu  dernièrement  à une  solution 
de  ce  problème  “ à la  fois  très  élégante  et  aussi  complète  qu'on 
pouvait  le  désirer  „. 
Le  lien  de  cette  question  avec  le  sujet  traité  par  M.  Borel  est 
trop  évident  pour  que  celui-ci  ait  cru  pouvoir  se  dispenser  de 
l’aborder.  11  lui  consacre  donc  son  chapitre  V.  Non  content  d’ail- 
leurs de  donner  un  exposé  très  clair  et  très  complet  de  la  belle 
théorie  du  savant  géomètre  suédois,  l’auteur  en  fait  encore  con- 
naître une  importante  généralisation  fondée  sur  la  considération 
de  l’intégrale  de  Cauchy.  Il  insiste  enfin  sur  les  différences  de 
caractère  qu’offre  cette  théorie,  édifiée  en  vue  d’un  autre  but, 
par  rapport  à la  théorie  proprement  dite  des  séries  diver- 
gentes, abordée  dans  les  chapitres  précédents.  Il  estime  toutefois 
que,  moyennant  quelques  restrictions  et  quelques  modifications 
à déterminer,  qui  n’altèreraient  pas  son  caractère  essentiel,  la 
théorie  de  M.  Mittag-Leffler  serait  sans  doute  de  nature  à faire 
naître  une  théorie  générale  des  séries  divergentes  dont  les 
