LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 
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■bien que je doive y faire quelques allusions ; mais je pren- 
drai la géométrie élémentaire telle qu’elle s’enseigne 
aujourd’hui dans les classes, et je tâcherai d’en bien 
montrer les graves imperfections. Il suffira, pour me com- 
prendre, d’avoir suivi au collège un cours élémentaire de 
géométrie plane, et d’en avoir retenu les notions les plus 
faciles qu’il est presque impossible d’oublier. Ce que je vais 
écrire, j’ai eu plusieurs fois l’occasion de le dire, dans des 
conversations plutôt philosophiques que scientifiques, à 
des interlocuteurs qui avaient depuis longtemps négligé 
Euclide et Legendre ; et il m’a toujours semblé qu’ils le 
comprenaient sans effort et qu’ils s’y intéressaient. 
Commençons par l’imperfection la plus célèbre, celle 
qui a été le plus anciennement signalée et qui, par les 
longues et inutiles tentatives de correction qu’elle a 
suscitées, a probablement fait découvrir toutes les autres. 
Elle se rencontre au seuil de la théorie des parallèles. 
Cette théorie se fonde sur une proposition qui n’est ni 
évidente ni démontrée. Rappelons les principales formes 
qu’on a données à ce point de départ. 
Euclide le formulait ainsi : « Si une droite tombant 
sur deux droites fait les angles intérieurs du même côté 
plus petits que deux droits, ces deux droites prolongées à 
l’infini se rencontreront du côté où les angles sont plus 
petits que deux droits. » Il va sans dire que, dans cet 
énoncé, les droites sont supposées dans un même plan. 
Cette proposition constitue ce qu’on appelle ordinairement 
le postulation d’Euclide; dans la plupart des éditions elle 
est intitulée : Axiome xi. Mais si l’on donne au mot 
axiome le sens ordinaire, consacré par le dictionnaire de 
l’Académie, à savoir : « Vérité évidente par elle-même ; 
proposition générale, reçue et établie dans une science, » 
on est bien tenté de donner raison aux quelques manus- 
crits qui ont rangé ce prétendu axiome parmi les postulala 
(xir/.utxzx), et en ont fait la 5 e demande. C’est dans cette 
