LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 357 
damment. Elles pourraient donc, comme ce postulatum, 
servir de base à la théorie des parallèles; mais, comme lui 
aussi, malgré des efforts persévérants, on n’est jamais 
parvenu à les démontrer. Nous ne citerons que les deux 
suivantes : 
Dans tout triangle, la somme des trois angles est égale 
à deux angles droits. 
Dans tout polygone plan fermé, la somme des angles 
extérieurs est égale à quatre angles droits. 
Legendre a essayé de bien des manières d’établir la 
première. A l’époque, déjà lointaine, où nous abordions 
l’étude delà géométrie, les éditions de ses Éléments com- 
mençaient par l’avertissement suivant : « La démonstra- 
tion de la théorie des parallèles, telle quelle avait été 
démontrée dans la troisième édition de cet ouvrage et dans 
les éditions suivantes jusqu’à la huitième inclusivement, 
n’étant pas à l’abri de toute objection, on s’était déterminé 
dans la neuvième édition à rétablir cette théorie à peu près 
sur la même base qu’Euclide. Des réflexions ultérieures, 
faites sur le même objet, dont on donnera le développe- 
ment dans la note II, ont fait découvrir deux nouvelles 
manières de démontrer le théorème sur les trois angles 
d’un triangle sans le secours d’aucun postulatum. On a en 
conséquence inséré une de ces démonstrations dans le texte 
de cette édition, en choisissant celle qui s’éloigne le moins 
des idées ordinaires ; et qui d’ailleurs ne semble pas plus 
difficile à comprendre que celle qui avait été donnée dans 
les éditions précédentes, depuis la troisième jusqu’à la 
huitième. » Hélas! ces démonstrations ne valaient pas 
mieux que les précédentes. Elles ont disparu des éditions 
actuelles, où l’on a de nouveau « rétabli la théorie à peu 
près sur les mêmes bases qu’Euclide ». Il ne reste des 
longues recherches de Legendre que la proposition sui- 
vante, insuffisante pour fonder la théorie des parallèles : 
La somme des angles d’un triangle rectiligne ne peut être 
plus grande que deux droits. On a bien essayé de démon- 
