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trer la contre-partie, à savoir que cette somme ne peut 
être inferieure à deux droits ; mais on n’y a pas réussi. 
La plupartde ces essais de démonstration peuvent aujour- 
d’hui être rejetés presque sans examen. Les recherches de 
géométrie générale ont fourni l’occasion d’établir l’insuffi- 
sance des principes sur lesquels ils s’appuient ordinaire- 
ment. Ainsi, dans un rapport à la classe des sciences de 
l’Académie royale de Belgique (1), M. De Tilly, après avoir 
établi les propriétés de ce qu’il appelle des pseudo-lon- 
gueurs, des pseudo-droites, des pseudo-plans, des pseudo- 
angles, etc. , établit le raisonnement suivant : « On se trouve 
maintenant en possession, pour les pseudo-droites,..., des 
mêmes principes que l’on admettait pour les droites,..., 
antérieurement au postulatum d’Euclide. S’il existait donc 
une démonstration de ce postulatum (ou, ce qui revient au 
même, de la somme des angles d’un triangle rectiligne), 
basée uniquement sur lesclits principes , on pourrait la répé- 
ter pour un triangle pseudo-rectiligne, et l’on démontre- 
rait que, dans un tel triangle, la somme des trois pseudo- 
angles vaut deux angles droits, ce qui n’est pas exact. » 
Le procédé sommaire d’examen qui résulte de cette conclu- 
sion s’applique également aux constructions planes et aux 
constructions à trois dimensions. Si la condition que nous 
avons soulignée se vérifie, si la démonstration suspecte est 
basée uniquement sur les principes admis pour les droites, 
les longueurs, les plans, les angles, avant le postulatum 
d’Euclide, on peut être certain que cette démonstration est 
vicieuse ; car, transportée légitimement à une construc- 
tion analogue, mais différente, elle mènerait aussitôt 
avec la même rigueur à une conclusion fausse. 
Parmi les tentatives que cette critique sommaire per- 
met de condamner, il en est parfois dont l’erreur est assez 
difficile à préciser. On me permettra de citer ici un fait 
personnel qui, après tout, n’est pas particulièrement glo- 
(1) 2 août 1873. Bulletins , t. XXXVI, 2 e série, pp. 124 et suiv. 
