LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 350 
rieux. Il y a quoique trente ans, je crus avoir trouvé une 
démonstration fort simple du postulatum, grâce aux pro- 
priétés d’une ligne qu’on appelle aujourd’hui une équi- 
distante. Je l’envoyai même aune académie qui me rendit le 
service de ne pas la publier. Mon illusion dura plusieurs 
années, et elle fut partagée par des amis que je regardais à 
bon droit comme des juges compétents. Mais des considéra- 
tions d’un autre ordre m’amenèrent ensuite à reconnaître 
à 'priori l’insuffisance des principes sur lesquels ma pré- 
tendue démonstration était fondée. J’étais donc bien sur 
qu’elle devait être fausse ; et pourtant son vice essentiel 
était si bien déguisé qu’il me fallut une assez longue 
recherche pour le découvrir et le toucher du doigt. 
Il y a toute une catégorie de ces tentatives dont on 
pourrait douter si elles sont basées uniquement sur les prin- 
cipes admis aujourd’hui en géométrie avant le postulatum. 
Ce sont celles où l’on compare entre elles sous le rapport 
de la grandeur des figures infinies. Une des plus connues 
est généralement attribuée à Bertrand de Genève. Pour 
prouver que l’oblique rencontre la perpendiculaire, elle 
mène une autre perpendiculaire par le pied de l’oblique. 
Elle prétend alors que l’espace angulaire infini compris 
entre ces deux dernières droites ne peut être compris entre 
les deux perpendiculaires ; car, suivant elle, le ruban 
infini compris entre celles-ci est plus petit que cet espace 
angulaire, vu que l’on peut placer dans l’intérieur de 
l’angle droit un nombre quelconque de rubans égaux au 
premier, tandis qu’un nombre suffisant d’espaces angulaires 
égaux au premier arrive à constituer un grand espace 
angulaire qui comprend l’angle droit et tous ces rubans. 
Le défaut irrémédiable de toute cette catégorie, c’est 
précisément qu’on y compare des grandeurs infinies, qui, 
en tant qu’infinies, sont essentiellement indéterminées (i) et, 
par suite, ne peuvent être dites ni égales entre elles, ni 
(1) Voir sur ce sujet la Revue des questions scientifiques, t. III, pp. 548 et 
suiv., ou les Confins de la science et de la philosophie, ch. iv. 
