LES INCERTITUDES DE LA GEOMETRIE. 3G7 
Elle se trouve contenue, quoique d’une manière assez con- 
fuse, dans deux passages d’Euclide, dont l’un forme la 
seconde demande , et l’autre le douzième axiome de ses 
Éléments. Voici ces passages : 
Demande 2 e : Qu’on puisse prolonger continuellement, 
selon sa direction, une droite finie. 
Axiome 12: Deux droites 11 e renferment pas un espace. 
Je préférerais substituer au système de ces deux énon- 
cés l’énoncé unique que je trouve dans l’Essai de M. De 
Tilly(i) : La distance de deux points de l’espace n’a pas de 
limite et peut augmenter indéfiniment. 
L’imperfection consiste en ce que la géométrie ordinaire 
admet cette proposition sans l’établir. 
Ici, je n’en doute pas, plusieurs de mes lecteurs, la 
plupart même probablement, m’arrêteront. « Est-il vrai- 
ment nécessaire de l’établir? diront-ils ; n’est-elle pas tout 
à fait évidente ? » D’autres, au contraire, me comprenant 
mal, croiront que je ne vais pas assez loin quand je la 
range parmi les propositions simplement contestables ; 
car pour eux elle est certainement fausse. 
Détrompons d’abord ces derniers, car la pensée qu’ils 
m’attribuent n’a rien à faire en géométrie. On trouve sou- 
vent dans les traités de métaphysique une distinction entre 
l’espace réel et l’espace imaginaire. Cet espace réel n’est 
autre chose que la région où se trouve l’univers matériel 
tout entier, chose essentiellement finie, et susceptible 
d’être toute à l’intérieur d’une surface fermée. La région 
qu’on limite par cette surface est certainement finie ; aussi 
la distance de deux points y a nécessairement une limite 
et ne peut augmenter indéfiniment. Mais cette région a 
un extérieur qui est appelé l’espace imaginaire ; et ce que 
les géomètres appellent simplement l’espace, ce qui porte 
ce nom dans la proposition citée, c’est l’ensemble de l’es- 
pace réel et de l’espace imaginaire. C’est dans cet ensemble 
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