LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 371 
sections s’opèrent au même point de l’espace. Dans ce 
dernier cas, on arrive à un résultat extrêmement singu- 
lier. Supposons qu’un point mobile parcoure toujours dans 
le même sens une droite située sur un plan ; car il y a 
aussi des plans dans l’espace elliptique, seulement ils ne 
s’étendent pas à l’infini, et ont une aire limitée. Ce point 
mobile reviendra à son point de départ, mais il sera alors 
de Vautre côté du plan, et cependant sa marche aura été 
toujours parfaitement continue, parfaitement uniforme ; 
nulle part on ne devra supposer qu’il passe brusquement 
d’un côté à l’autre du plan (1). Toutes les perpendiculaires à 
une même droite, dans un plan, convergent en un point 
situé à une distance finie. Il n’y a pas de parallèles pos- 
sibles, car deux droites situées dans le même plan se 
rencontrent nécessairement. Quant aux sphères de cet 
espace hypothétique, si leur rayon n’est pas trop grand, 
leur surface entoure complètement le centre ; mais quand 
on fait croître leur rayon, les surfaces correspondantes 
finissent par diminuer, sans qu’on puisse dire qu’elles se 
resserrent autour du centre, puisqu’elles s’en éloignent de 
plus en plus, et, quand le rayon atteint sa plus grande 
longueur possible, correspondant à la distance maximum, 
la surface sphérique se réduit exactement à un point. Je 
ne prétends pas que cela soit imaginable, ni même que cela 
soit concevable et possible ; mais il n’y a aucune contra- 
diction logique qui en démontre rigoureusement l’ab- 
surdité. 
Faisons maintenant sur toutes ces hypothèses une 
(1) Pour que ce résultat ne paraisse pas trop singulier, pour qu’il ne 
paraisse pas absurde, il est bon de remarquer que l’on peut réaliser des 
surfaces où un point mobile passe d’un côté à l’autre par une marche toujours 
uniforme. Supposons, par exemple, un ruban de papier en forme de 
rectangle très long, dont les deux grands côtés sont AA' etBB'. Si l’on colle 
l’un sur l’autre les deux petits côtés en plaçant A' sur A et B' sur B, il 
n’en résultera qu’un cylindre ; mais, si on colle ces mêmes côtés après 
avoir donné au rectangle une torsion de 180°, et en plaçant B' sur A et A' 
sur B, on aura une surface où un point, mobile suivant l’axe du ruban, 
passerait, à chaque tour, sur un côté différent de ce ruban. 
