LES INCERTITUDES DE LA GÉOMÉTRIE. 373 
être considérée comme la dernière de l’une des séries et la 
première de l’autre. Et, ce qu’il importe de bien remarquer, 
une de ces hypothèses doit être vraie, car la double série 
complète renferme toutes les hypothèses possibles, et une 
seule peut être vraie, car chacune d’elles contredit toutes 
les autres. 
Qui décidera entre toutes ces géométries? L’expérience 
ou la raison pure ? 
Parmi les savants géomètres qui ont récemment publié 
des travaux sur ces questions, plusieurs se prononcent 
franchement pour l’expérience, et je n’en connais pas 
qui opinent pour la raison pure. Leurs arguments ne m’ont 
pas convaincu ; après les avoir médités, je me suis dit : 11 y 
a d’illustres autorités pour, mais il y a d’invincibles raisons 
contre. 
J’ai promis de donner ici une de ces raisons. Pour en 
faire bien sentir la force à tous mes lecteurs, il convient 
de simplifier d’abord la question elle-même. Or, on peut, 
sans en altérer aucunement le fond, lui donner une forme 
extrêmement simple, en la transportant dans un exemple 
particulier très facile à comprendre. 
Supposons qu’on nous pose le problème suivant : Dans 
un triangle rectangle ABC, les deux côtés AB, AC de 
l’angle droit A ont pour longueurs exactes, le premier 
40 centimètres, le second 30 centimètres ; quelle est 
la longueur exacte de l’hvpothénuse ou troisième côté 
BC? 
Si nous le demandons à la géométrie euclidienne, elle 
répond : Cette longueur est tout juste 50 centimètres, 
pas une fraction de plus, pas une fraction de moins. 
Si nous interrogeons les géométries de l’espace hyper- 
bolique, chacune donne une longueur différente. Toutes 
ces longueurs dépassent celle de 50 centimètres, et elles 
la dépassent d’autant plus que la géométrie correspon- 
dante attribue une plus grande ouverture au faisceau de 
parallèles dont nous parlions tout à l’heure. 
