LES INCERTITUDES DE LA GEOMETRIE. 
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Il me parait impossible de soutenir que la dernière, 
même éclairée par les deux précédentes, ait toute la clarté 
et la précision qu’on doit exiger en géométrie. Duhamel 
qui, dans son bel ouvrage intitulé : Des méthodes dans les 
sciences de raisonnement, professe avec raison le plus 
grand respect pour Euclide, a bien essayé de donner un 
sens précis à la définition euclidienne de la droite, mais il 
semble avoir renoncé à en faire autant pour la définition 
du plan qui se trouve à côté. Il n’en dit pas un mot. • 
D’ailleurs, Euclide emploie le plan comme moyen de 
construction dès sa proposition première, et il suppose 
partout qu’on puisse y construire des droites, et les y pro- 
longer indéfiniment. 
Dans les Éléments de Legendre, on trouve également 
au début du livre premier : 
5. Surface est ce qui a longueur et largeur, sans hau- 
teur ou épaisseur. 
0. Le plan est une surface dans laquelle, prenant deux 
points à volonté, et joignant ces deux points par une ligne 
droite, cette ligne est tout entière dans la surface. 
Le défaut principal de cette définition n’est pas d’ètre 
exprimée par une phrase incorrecte ; car celui-là est aisé- 
ment corrigé. Ainsi l’on dit ordinairement aujourd’hui : 
Le plan est une surface telle que, si on fait passer une 
droite par deux quelconques de ses points, cette droite, 
indéfiniment prolongée, est entièrement comprise dans la 
surface. 
Ce défaut principal consiste en ce qu’elle suppose, sans 
démonstration aucune, la réunion d’un nombre indéfini de 
conditions peut-être incompatibles. « Existe-il une surface 
sur laquelle une droite peut s’appliquer indéfiniment, quels 
que soient les deux points qu’on ait choisis pour la déter- 
miner (i)? » Qui me dit qu’une pareille réunion n’est pas 
(1) Duhamel. Des méthodes dans les sciences de raisonnement, 2“- partie, 
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