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REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
nairement, aux propriétés du plan. Cette démonstration 
n’offre aucune difficulté pour les deux premiers cas (angle 
égal entre deux côtés égaux chacun à chacun, côté égal 
entre deux angles égaux chacun à chacun) ; mais, pour le 
troisième cas (trois côtés égaux chacun à chacun), il n’en 
était pas de même. Le P. Searle a réussi pourtant au moyen 
d’un principe, fondé sur la continuité, qu’on peut énoncer 
ainsi : Sur le côté BCd’un triangle ABC, il y a entre B et 
C un point D tel que l’angle DAB est égal à un angle donné, 
plus petit que l’angle CAB. Le lecteur trouvera sans peine 
l’application de ce principe à la démonstration du troisième 
cas. Quant à la proposition principale, voici comment 
le P. Searle la démontre. Sur Y axe qui a servi à construire 
le plan suivant la définition de Duhamel, il porte deux 
longueurs égales et opposées OD, OD' ; puis il joint par 
des droites les points D, O et D' avec les deux points A et 
B donnés sur la surface, et prenant un nouveau point 
quelconque C sur la droite AB, il le joint également par des 
droites avec les trois points D, O, D'. On voit alors, par 
des égalités de triangles, que la ligne OC est elle-même 
perpendiculaire à l’axe, et que par conséquent le point C 
est dans le plan. 
M. De Tilly, dans l’ouvrage déjà cité (1), a donné une 
démonstration analogue de ce même théorème ; mais, 
comme je le disais plus haut, de bons traités élémentaires 
publiés depuis, et même cette année, n’en font aucune 
mention. 
L’existence et les premières propriétés de la ligne droite, 
supposées dans les paragraphes précédents, ont aussi été 
depuis l’origine laissées dans l’obscurité et l’incertitude ; et 
ç’a été jusqu’à ces dernières années une des graves imper- 
fections de la géométrie. 
La définition de la droite, donnée par Euclide sans aucun 
commentaire dès les premières lignes de ses Éléments, 
(1) Essai sur les principes fondamentaux..., c. i, § 5. 
